Na figura abaixo o bloco 1 de massa m1 desliza sem velocidade inicial ao longo de uma rampa sem atrito a partir de uma altura h=1,25 m e colide com o bloco 2 de massa m2=2 m1, inicialmente em repouso. Após a colisão o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético k é 0,500 e para depois de percorrer uma distância d nesta região. Qual é o valor da distância d se a colisão é: a) perfeitamente inelástica? b) perfeitamente elástica?

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos dois blocos, onde o bloco 1 de massa desliza sem atrito a partir de uma altura e colide com o bloco 2 de massa , que está inicialmente em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região com coeficiente de atrito cinético e para depois de percorrer uma distância . Precisamos encontrar o valor de para dois tipos de colisão: a) perfeitamente inelástica e b) perfeitamente elástica.
Para resolver este problema, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética, conservação da quantidade de movimento e trabalho das forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco 1 justo antes da colisão. Como ele desliza sem atrito a partir de uma altura m1 g h = 12 m1 v1^2 , toda a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética. Usamos a conservação de energia:
v1 = raiz2 g h
Onde:
  • v1 = raiz2 times 9,8 times 1,25 approx raiz24,5 approx 4,95 , m/s é a aceleração da gravidade.
  • é a velocidade do bloco 1 antes da colisão.
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas situações de colisão.

a) Colisão Perfeitamente Inelástica

Na colisão perfeitamente inelástica, os dois blocos ficam juntos após a colisão. Usamos a conservação da quantidade de movimento:
m1 v1 = (m1 + m2) v'
Sabendo que m1 v1 = (m1 + 2 m1) v' Rightarrow m1 v1 = 3 m1 v' Rightarrow v' = v13 :
v' = 4,953 approx 1,65 , m/s
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância Trabalho da atrito = De que o bloco 2 percorre na região com atrito. Usamos o princípio do trabalho e energia, onde o trabalho da força de atrito é igual à variação da energia cinética:
Fa = k m2 g é
A força de atrito Fa cdot d = k m2 g d é:
12 (m1 + m2) v'^2 = 12 times 3 m1 times (1,65)^2
O trabalho realizado pela força de atrito ao longo da distância k m2 g d = 12 (m1 + m2) v'^2 é:
0,500 times 2 m1 times 9,8 times d = 12 times 3 m1 times (1,65)^2
A energia cinética inicial do sistema após a colisão é:
0,500 times 2 times 9,8 times d = 12 times 3 times (2,7225)
Igualando os dois:
9,8 times d = 12 times 3 times 2,7225 Rightarrow 9,8 d = 4,08375
Substituindo d = 4,083759,8 approx 0,416 , m :
Simplificando :
Calculando:
Resolvendo para :

Passo 5

b) Colisão Perfeitamente Elástica

Na colisão perfeitamente elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas. Usamos as equações de conservação:
m1 v1 = m1 v1' + m2 v2'
12 m1 v1^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Dado que v2' = 2 m1 v1m1 + m2 = 2 m1 times 4,953 m1 = 9,93 = 3,3 , m/s , podemos resolver essas equações para encontrar . Após cálculos (que envolvem substituição e solução de equações), encontramos que:

Passo 6

Agora, calculamos a distância k m2 g d = 12 m2 v2'^2 que o bloco 2 percorre após a colisão perfeitamente elástica, usando o mesmo princípio do trabalho e energia:
0,500 times 2 m1 times 9,8 times d = 12 times 2 m1 times (3,3)^2
Substituindo 0,500 times 2 times 9,8 times d = 12 times 2 times 10,89 e 9,8 d = 10,89 Rightarrow d = 10,899,8 approx 1,11 , m :
Simplificando :
Calculando:

Resposta

a) Na colisão perfeitamente inelástica, a distância é aproximadamente 0,416 metros.
b) Na colisão perfeitamente elástica, a distância é aproximadamente 1,11 metros.

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