Na figura abaixo um carro de montanha-russa de massa m = 825 kg atinge o cume da primeira elevação com velocidade v0 = 17,0 m/s a uma altura h = 42,0 m. O atrito é desprezível. Qual é o trabalho realizado sobre o carro pela força gravitacional entre este ponto e
(a) o ponto A,
(b) o ponto B e
© o ponto C? Se a energia potencial gravitacional do sistema carro-Terra é tomada como sendo nula em C, qual é o seu valor quando o carro está
(d) em B e
(e) em A? Se a massa m é duplicada, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B aumenta, diminui ou permanece a mesma?
(a) o ponto A,
(b) o ponto B e
© o ponto C? Se a energia potencial gravitacional do sistema carro-Terra é tomada como sendo nula em C, qual é o seu valor quando o carro está
(d) em B e
(e) em A? Se a massa m é duplicada, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem um carro de montanha-russa com massa $ m = 825 , kg $ que chega no topo da primeira elevação com uma velocidade inicial de $ v_0 = 17,0 , m/s $ e numa altura de $ h = 42,0 , m $. A gente precisa calcular o trabalho feito pela força gravitacional em vários pontos (A, B, C) e também a energia potencial gravitacional nesses pontos, assumindo que em C a energia potencial é zero. Além disso, tem uma questão sobre o que acontece se a massa dobra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho, energia cinética e energia potencial gravitacional.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é trabalho realizado pela força gravitacional. Trabalho é uma medida de energia transferida por uma força atuando ao longo de um deslocamento. A fórmula para o trabalho da gravidade é:
Onde $ U $ é a energia potencial gravitacional dada por:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $) e $ h $ é a altura.
Passo 3
Parte (a): Trabalho da gravidade entre o cume e o ponto A
Primeiro, vamos calcular a energia potencial no cume e no ponto A.
Supondo que o ponto A está numa altura diferente, vamos precisar da diferença de altura entre eles. Se não tiver mais informações sobre a altura de A, precisaríamos dessa informação para continuar. Mas como não temos, vamos supor que o ponto A está no nível do solo ($ h_A = 0 , m $).
A mudança na energia potencial é:
Substituindo:
Então, o trabalho da gravidade é:
Passo 4
Parte (b): Trabalho da gravidade entre o cume e o ponto B
Precisamos saber a altura do ponto B. Supondo que o ponto B está entre o cume e A, digamos, com uma altura $ h_B $. Se, por exemplo, $ h_B = 21 , m $, então:
Passo 5
Parte ©: Trabalho da gravidade entre o cume e o ponto C
No ponto C, a energia potencial é zero ($ U_C = 0 $). Então:
Passo 6
Parte (d): Energia potencial gravitacional no ponto B
Assumindo $ h_B = 21 , m $:
Passo 7
Parte (e): Energia potencial gravitacional no ponto A
Como assumimos que $ h_A = 0 , m $:
Passo 8
Variação da energia potencial com a massa duplicada
A energia potencial gravitacional é diretamente proporcional à massa:
Se a massa é duplicada ($ 2m $):
Então, a variação da energia potencial entre os pontos A e B também duplica.
Resposta
(a) O trabalho realizado pela força gravitacional entre o cume e o ponto A é $ 340.740 , J $.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional entre o cume e o ponto B é $ 170.370 , J $.
© O trabalho realizado pela força gravitacional entre o cume e o ponto C é $ 340.740 , J $.
(d) A energia potencial gravitacional no ponto B é $ 170.370 , J $.
(e) A energia potencial gravitacional no ponto A é $ 0 , J $.
Além disso, se a massa $ m $ for duplicada, a variação da energia potencial gravitacional entre os pontos A e B também dobra, aumentando proporcionalmente.