A Figura abaixo mostra uma câmera montada em um ponto a 3000 pés da base da rampa de lançamento de um foguete. Vamos supor que o foguete sobe verticalmente e a câmera tira uma série de fotografias dele. Como o foguete estará subindo, o ângulo de elevação da câmera terá que variar segundo uma taxa para manter o foguete à vista. Além disso, como a distância entre a câmera e o foguete estará variando constantemente, o mecanismo de focalização da câmera também terá que variar a uma certa taxa para manter a fotografia em foco. Se o foguete mostrado na figura estiver subindo verticalmente a 880 pés/s, quando ele estiver a 4000 pés, com que rapidez o ângulo de elevação da câmera estará variando naquele instante para manter o foguete à vista?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma câmera fixada a 3000 pés da base de onde o foguete vai decolar. Quando o foguete sobe, o ângulo de elevação da câmera muda para mantê-lo na foto, e a distância entre a câmera e o foguete também muda, então a câmera precisa ajustar o foco. O que a gente precisa descobrir aqui é a que velocidade o ângulo de elevação da câmera está mudando quando o foguete está a 4000 pés de altura, sabendo que ele está subindo a 880 pés por segundo. Vamos usar um pouco de cálculo, especialmente as chamadas taxas relacionadas, para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação como um triângulo retângulo:
  • Base fixa: 3000 pés (distância horizontal entre a câmera e a base da rampa).
  • Altura variável: y(t) = altura do foguete no tempo t.
  • Hipotenusa: s(t) = distância entre a câmera e o foguete.
  • Ângulo de elevação: θ(t) = ângulo que a câmera faz com a horizontal para apontar para o foguete.
Queremos encontrar a taxa de mudança do ângulo θ em relação ao tempo, ou seja, dθ/dt, quando y = 4000 pés.

Passo 3

Vamos relacionar essas variáveis usando a trigonometria. No triângulo retângulo, temos:
Para encontrar como θ está mudando com o tempo, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados:
Sabemos que a derivada de tan(θ) é:

Passo 5

Isolando dθ/dt:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • dy/dt = 880 pés/s
  • y = 4000 pés
Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 7

Agora, vamos simplificar os números:
Então:

Resposta

A taxa de variação do ângulo de elevação da câmera quando o foguete está a 4000 pés é de radianos por segundo, aproximadamente 0,1056 rad/s.

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