Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. , onde e é a elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem um campo vetorial e a curva é uma elipse dada por . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada orientada positivamente é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de:
Então, nossa tarefa é encontrar e .
Passo 3
Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha se transforma em:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região que é a elipse . Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma a elipse em um círculo. Vamos definir:
Assim, a equação da elipse vira:
O Jacobiano dessa transformação é:
Passo 6
Com a mudança de variáveis, a integral dupla fica:
integral duplaD (-5y^5) , dA = -5 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v^5 cdot 12 , du , dv = -52 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v^5 , du , dv
Passo 7
Agora, vamos para coordenadas polares, onde u = r cos theta e v = r sin theta. A integral se torna:
-52 integral0^2pi integral0^1 (r sin theta)^5 cdot r , dr , dtheta = -52 integral0^2pi sin^5 theta integral0^1 r^6 , dr , dtheta
Sabemos que a integral de sin^5 theta de 0 a 2pi é zero, porque a função é ímpar em relação ao eixo horizontal e as áreas positivas e negativas se cancelam. Portanto: