Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=y^6 i+x y^5 j e C é a elipse 4 x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem um campo vetorial F(x, y) = y^6 i + x y^5 j e a curva C é uma elipse dada por 4x^2 + y^2 = 1. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial F = P i + Q j, a integral de linha ao redor de uma curva fechada C orientada positivamente é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por C de:
partial Qpartial x - partial Ppartial y , dA
Então, nossa tarefa é encontrar partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P(x, y) = y^6
Q(x, y) = x y^5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^5) = y^5
partial Ppartial y = partialpartial y (y^6) = 6y^5

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^5 - 6y^5 = -5y^5
Então, a integral de linha se transforma em:
integralC F cdot d r = integral duplaD (-5y^5) , dA

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D que é a elipse 4x^2 + y^2 = 1. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma a elipse em um círculo. Vamos definir:
u = 2x e v = y
Assim, a equação da elipse vira:
u^2 + v^2 = 1
O Jacobiano dessa transformação é:
J = | partial(x, y)partial(u, v) | = | cc partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v | = | cc 12 & 0 0 & 1 | = 12

Passo 6

Com a mudança de variáveis, a integral dupla fica:
integral duplaD (-5y^5) , dA = -5 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v^5 cdot 12 , du , dv = -52 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v^5 , du , dv

Passo 7

Agora, vamos para coordenadas polares, onde u = r cos theta e v = r sin theta. A integral se torna:
-52 integral0^2pi integral0^1 (r sin theta)^5 cdot r , dr , dtheta = -52 integral0^2pi sin^5 theta integral0^1 r^6 , dr , dtheta

Passo 8

Calculando a integral em r:
integral0^1 r^6 , dr = [ r^77 ]0^1 = 17
Então, a integral fica:
-52 cdot 17 integral0^2pi sin^5 theta , dtheta = -514 integral0^2pi sin^5 theta , dtheta

Passo 9

Sabemos que a integral de sin^5 theta de 0 a 2pi é zero, porque a função é ímpar em relação ao eixo horizontal e as áreas positivas e negativas se cancelam. Portanto:
integral0^2pi sin^5 theta , dtheta = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y d x-3 y^2 d y, C é o círculo x^2+y^2=1
A Figura abaixo mostra uma câmera montada em um ponto a 3000 pés da base da rampa de lançamento de um foguete. Vamos supor que o foguete sobe verticalmente e a câmera tira uma série de fotografias dele. Como o foguete estará subindo, o ângulo de elevação da câmera terá que variar segundo uma taxa para manter o foguete à vista. Além disso, como a distância entre a câmera e o foguete estará variando constantemente, o mecanismo de focalização da câmera também terá que variar a uma certa taxa para manter a fotografia em foco. Se o foguete mostrado na figura estiver subindo verticalmente a 880 pés/s, quando ele estiver a 4000 pés, com que rapidez o ângulo de elevação da câmera estará variando naquele instante para manter o foguete à vista?
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC 2 x y d x+x^2 d y, C é o cardioide r=1+cos theta
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(x y+e^x^2) d x+(x^2-ln (1+y)) d y,
C consiste no segmento de reta de (0,0) a (pi, 0) e na curva y=sen x, 0 <= x <= pi