Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo unitário usando o Teorema de Green. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre como transformar integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Green nos diz. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o interior do círculo
. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde:
Substituindo
na expressão
, temos:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Calculando a integral interna em relação a
:
Então, a expressão fica:
Sabemos que:
Portanto: