Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo unitário usando o Teorema de Green. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre como transformar integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Green nos diz. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o interior do círculo
. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde:
Substituindo
na expressão
, temos:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Calculando a integral interna em relação a
:
Então, a expressão fica:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
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A Figura abaixo mostra uma câmera montada em um ponto a 3000 pés da base da rampa de lançamento de um foguete. Vamos supor que o foguete sobe verticalmente e a câmera tira uma série de fotografias dele. Como o foguete estará subindo, o ângulo de elevação da câmera terá que variar segundo uma taxa para manter o foguete à vista. Além disso, como a distância entre a câmera e o foguete estará variando constantemente, o mecanismo de focalização da câmera também terá que variar a uma certa taxa para manter a fotografia em foco. Se o foguete mostrado na figura estiver subindo verticalmente a 880 pés/s, quando ele estiver a 4000 pés, com que rapidez o ângulo de elevação da câmera estará variando naquele instante para manter o foguete à vista?
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
e
é a elipse
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o cardioide