Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y d x-3 y^2 d y, C é o círculo x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo unitário usando o Teorema de Green. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre como transformar integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Green nos diz. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (-3y^2)partial x = 0
partial Ppartial y = partial (x^2y)partial y = x^2
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - x^2 = -x^2

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região x = r cos theta , que é o interior do círculo y = r sin theta . Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde:
dx , dy = r , dr , dtheta
-x^2 = -r^2 cos^2 theta
Substituindo na expressão , temos:

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD -x^2 , dx , dy = - integral0^2pi integral0^1 r^2 cos^2 theta cdot r , dr , dtheta = - integral0^2pi cos^2 theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Calculando a integral interna em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
- 14 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
Então, a expressão fica:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Sabemos que:
- 14 times pi = -pi4
Portanto:

Resposta

-pi4

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