Int egre F(x, y) = y i + x j ao longo da curva indicada.
gamma(t) = t^3 i - 2 t j, t in [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva definida por para entre 0 e 1. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente das integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na expressão de , calcular o produto escalar com a derivada da parametrização e integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 1, temos um ponto na curva dado por .

Passo 3

Agora, substituímos e na expressão do campo vetorial pela parametrização da curva:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Por fim, integramos o resultado de 0 a 1 para encontrar o valor da integral de linha:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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