A Figura 3, um cilindro maciço com raio R=20 cm de raio e uma massa M=12 kg (momento de inércia do cilindro IC M=M R^2 / 2 ) parte do repouso e rola para abaixo uma distância L=6,0 m, sem deslizar, em um telhado com uma inclinaçăo theta=30^circ. (a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relaçào ao eixo central ao deixar o telhado? (b) A borda do telhado está a uma altura H=5,0 m. A que distaincia horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um cilindro maciço com raio e massa que está rolando sem deslizar por um telhado inclinado com ângulo e descendo uma distância . O objetivo é encontrar:
(a) A velocidade angular do cilindro quando ele deixa o telhado.
(b) A distância horizontal da borda do telhado onde o cilindo vai aterrissar no chão, sabendo que a borda está a uma altura .
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação, cinemática e energia para resolver essas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a velocidade angular, precisamos relacionar a energia do cilindro enquanto ele rola sem deslizar. Quando o cilindro desce, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética de translação e de rotação.
A expressão para a energia potencial inicial é:
U = M g h
Onde:
  • h = L sin theta é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Como o cilindro desce uma distância ao longo do telhado inclinado, a altura pode ser encontrada usando trigonometria:

Passo 3

A energia cinética total K = 12 M v^2 + 12 I omega^2 do cilindro quando ele deixa o telhado é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
v = omega R
Onde:
  • é a velocidade linear do centro de massa,
  • é o momento de inércia ( ),
  • é a velocidade angular.
Como o cilindro rola sem deslizar, temos a relação:

Passo 4

Aplicando a conservação de energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética total:
M g h = 12 M v^2 + 12 I omega^2
Substituindo M g h = 12 M v^2 + 12 ( 12 M R^2 ) ( vR )^2 e M g h = 12 M v^2 + 14 M v^2 na equação:
M g h = 34 M v^2
Simplificando:

Passo 5

Agora, podemos resolver para g h = 34 v^2 :
v^2 = 43 g h
v = raiz 43 g h
v = raiz 43 g L sin theta
Lembrando que :

Passo 6

Calculando h = 6,0 , m times sin 30^circ = 6,0 , m times 0,5 = 3,0 , m :
v = raiz 43 times 9,81 , m/s^2 times 3,0 , m
Agora, substituindo os valores na expressão para v = raiz 43 times 29,43 , m^2/s^2 :
v = raiz 39,24 , m^2/s^2
v approx 6,26 , m/s

Passo 7

Agora que temos a velocidade linear v = omega R , podemos encontrar a velocidade angular omega = vR usando a relação:
R = 20 , cm = 0,20 , m
omega = 6,26 , m/s0,20 , m
Convertendo o raio para metros:
omega = 31,3 , rad/s
Substituindo:

Resposta

(a) A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente .

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