A Figura 3, um cilindro maciço com raio de raio e uma massa (momento de inércia do cilindro ) parte do repouso e rola para abaixo uma distância , sem deslizar, em um telhado com uma inclinaçăo . (a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relaçào ao eixo central ao deixar o telhado? (b) A borda do telhado está a uma altura . A que distaincia horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um cilindro maciço com raio e massa que está rolando sem deslizar por um telhado inclinado com ângulo e descendo uma distância . O objetivo é encontrar:
(a) A velocidade angular do cilindro quando ele deixa o telhado.
(b) A distância horizontal da borda do telhado onde o cilindo vai aterrissar no chão, sabendo que a borda está a uma altura .
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação, cinemática e energia para resolver essas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a velocidade angular, precisamos relacionar a energia do cilindro enquanto ele rola sem deslizar. Quando o cilindro desce, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética de translação e de rotação.
A expressão para a energia potencial inicial é:
Onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Como o cilindro desce uma distância ao longo do telhado inclinado, a altura pode ser encontrada usando trigonometria:

Passo 3

A energia cinética total do cilindro quando ele deixa o telhado é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Onde:
  • é a velocidade linear do centro de massa,
  • é o momento de inércia ( ),
  • é a velocidade angular.
Como o cilindro rola sem deslizar, temos a relação:

Passo 4

Aplicando a conservação de energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética total:
Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, podemos resolver para :
Lembrando que :

Passo 6

Calculando :
Agora, substituindo os valores na expressão para :

Passo 7

Agora que temos a velocidade linear , podemos encontrar a velocidade angular usando a relação:
Convertendo o raio para metros:
Substituindo:

Resposta

(a) A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente .

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