A Figura 3, um cilindro maciço com raio
de raio e uma massa
(momento de inércia do cilindro
) parte do repouso e rola para abaixo uma distância
, sem deslizar, em um telhado com uma inclinaçăo
. (a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relaçào ao eixo central ao deixar o telhado? (b) A borda do telhado está a uma altura
. A que distaincia horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um cilindro maciço com raio
e massa
que está rolando sem deslizar por um telhado inclinado com ângulo
e descendo uma distância
. O objetivo é encontrar:
(a) A velocidade angular do cilindro quando ele deixa o telhado.
(b) A distância horizontal da borda do telhado onde o cilindo vai aterrissar no chão, sabendo que a borda está a uma altura
.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação, cinemática e energia para resolver essas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a velocidade angular, precisamos relacionar a energia do cilindro enquanto ele rola sem deslizar. Quando o cilindro desce, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética de translação e de rotação.
A expressão para a energia potencial inicial é:
Onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Como o cilindro desce uma distância
ao longo do telhado inclinado, a altura
pode ser encontrada usando trigonometria:
Passo 3
A energia cinética total
do cilindro quando ele deixa o telhado é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Onde:
-
é a velocidade linear do centro de massa, -
é o momento de inércia ( ), -
é a velocidade angular.
Como o cilindro rola sem deslizar, temos a relação:
Passo 4
Aplicando a conservação de energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética total:
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, podemos resolver para
:
Lembrando que
:
Passo 6
Calculando
:
Agora, substituindo os valores na expressão para
:
Passo 7
Agora que temos a velocidade linear
, podemos encontrar a velocidade angular
usando a relação:
Convertendo o raio para metros:
Substituindo:
Resposta
(a) A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente
.