A figura ao lado mostra um ioiô de massa M, raio R e momento de inércia I em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força F horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio r (R=3 r), sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o torque resultante sobre o ioiô em relação ao seu ponto de contacto com o piso (marcado com um times na figura) em termos de F, M, r, e I (o coeficiente de atrito estático não é conhecido).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ioiô com massa , raio (que é três vezes o raio do eixo ) e momento de inércia . Esse ioiô está apoiado em uma superfície com atrito e está sendo puxado por uma força horizontal constante . Nosso objetivo é encontrar o torque resultante sobre o ioiô em relação ao ponto de contato com o piso. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, força de atrito e como eles interagem no movimento do ioiô.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma medida de como uma força causa rotação em torno de um ponto. A fórmula básica para torque ( tau = r times F ) é:
onde é o vetor posição do ponto onde a força é aplicada em relação ao ponto de rotação, e é a força aplicada.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar o torque em relação ao ponto de contato com o chão. A força tauF = F times r está aplicada no fio enrolado no eixo de raio , então a alavanca para essa força é . Logo, o torque causado por é:
Esse torque tende a girar o ioiô no sentido anti-horário.

Passo 4

Além da força tauf = f times R , temos a força de atrito que age na base do ioiô para impedir o deslizamento. Essa força de atrito gera um torque também, mas no sentido horário. A alavanca para a força de atrito é o raio total . Assim, o torque devido ao atrito é:

Passo 5

Como o ioiô está em equilíbrio rotacional (não acelerando angularmente), o torque resultante deve ser igual a zero. Portanto:
tauF - tauf = 0
Substituindo as expressões dos torques:
F times r - f times R = 0

Passo 6

Sabemos que F times r - f times 3r = 0 , então podemos substituir:
F = 3f
Simplificando:
Ou seja, a força de atrito é .

Passo 7

Agora, para encontrar o torque resultante em relação ao ponto de contato, consideramos apenas o torque devido à força tauresu, já que o torque devido ao atrito foi balanceado. Portanto:

Resposta

O torque resultante sobre o ioiô em relação ao ponto de contato com o piso é:
tau = F times r

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