A figura ao lado mostra um ioiô de massa M, raio R e momento de inércia I em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força F horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio r (R=3 r), sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o momento de inércia do ioiô e sua aceleração angular em relação ao mesmo ponto de contacto. Encontre a aceleração linear do centro de massa do ioiô.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ioiô com massa M, raio R e momento de inércia I no seu eixo. Ele está apoiado em uma superfície com atrito e puxado por uma força horizontal F através de um fio enrolado em um pequeno raio r (sabendo que R = 3r). Nosso objetivo aqui é encontrar o momento de inércia do ioiô, sua aceleração angular em relação ao ponto de contato com a superfície e a aceleração linear do centro de massa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional e a relação entre movimento linear e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando puxamos o ioiô com a força F, essa força cria um torque que faz o ioiô girar. Além disso, devido ao atrito com a superfície, o ioiô também tende a se mover linearmente. Como não há escorregamento, há uma relação entre a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha).
A relação entre aceleração linear e angular sem escorregamento é dada por:
a = alpha R
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação, que diz que a soma dos torques ( tau) é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
tau = I alpha
O torque causado pela força F é:
tau = F cdot r
Portanto:
F cdot r = I alpha
Substituindo a = alpha R na equação acima:
F cdot r = I cdot aR
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento linear. A força resultante na direção horizontal é a força F, e essa força causa uma aceleração a no centro de massa:
F = M a
Agora, temos duas equações:
  1. F cdot r = I cdot aR
  2. F = M a
Podemos resolver essas duas equações para encontrar I e a.

Passo 3

Primeiro, vamos expressar I da primeira equação:
I = F cdot r cdot Ra
Da segunda equação, temos a = FM. Substituindo isso na expressão de I:
I = F cdot r cdot RFM = M r R
Sabemos que R = 3r, então:
I = M r (3r) = 3 M r^2
Agora que temos I, podemos encontrar a aceleração angular alpha usando a primeira equação:
F cdot r = I alpha
Substituindo I = 3 M r^2:
F cdot r = 3 M r^2 alpha alpha = F3 M r
Por fim, a aceleração linear do centro de massa a já foi obtida na segunda equação:
a = FM

Resposta

O momento de inércia do ioiô é I = 3 M r^2. A aceleração angular em relação ao ponto de contato é alpha = dfracF3 M r e a aceleração linear do centro de massa é a = dfracFM.

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