A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o momento de inércia do ioiô e sua aceleração angular em relação ao mesmo ponto de contacto. Encontre a aceleração linear do centro de massa do ioiô.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ioiô com massa , raio e momento de inércia no seu eixo. Ele está apoiado em uma superfície com atrito e puxado por uma força horizontal através de um fio enrolado em um pequeno raio (sabendo que ). Nosso objetivo aqui é encontrar o momento de inércia do ioiô, sua aceleração angular em relação ao ponto de contato com a superfície e a aceleração linear do centro de massa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional e a relação entre movimento linear e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando puxamos o ioiô com a força , essa força cria um torque que faz o ioiô girar. Além disso, devido ao atrito com a superfície, o ioiô também tende a se mover linearmente. Como não há escorregamento, há uma relação entre a aceleração linear ( ) e a aceleração angular ( ).
A relação entre aceleração linear e angular sem escorregamento é dada por:
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação, que diz que a soma dos torques ( ) é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
O torque causado pela força é:
Portanto:
Substituindo na equação acima:
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento linear. A força resultante na direção horizontal é a força , e essa força causa uma aceleração no centro de massa:
Agora, temos duas equações:
Podemos resolver essas duas equações para encontrar e .

Passo 3

Primeiro, vamos expressar da primeira equação:
Da segunda equação, temos . Substituindo isso na expressão de :
Sabemos que , então:
Agora que temos , podemos encontrar a aceleração angular usando a primeira equação:
Substituindo :
Por fim, a aceleração linear do centro de massa já foi obtida na segunda equação:

Resposta

O momento de inércia do ioiô é . A aceleração angular em relação ao ponto de contato é e a aceleração linear do centro de massa é .

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A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o torque resultante sobre o ioiô em relação ao seu ponto de contacto com o piso (marcado com um na figura) em termos de , e (o coeficiente de atrito estático não é conhecido).
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Faça o diagramas das forças que atuam no ioiô.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância , partindo do repouso.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância .