A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Determine a função
, que expressa a área do retângulo em função de
. Qual o domínio de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um triângulo retângulo isósceles com a hipotenusa medindo 2 unidades. Dentro desse triângulo, está inscrito um retângulo. A pergunta é para encontrarmos uma função
que representa a área desse retângulo em função de
, e também para determinar o domínio dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos e áreas de figuras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do triângulo. Sabendo que é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Vamos chamar o comprimento de cada cateto de
. A hipotenusa é dada pela fórmula:
Sabemos que a hipotenusa mede 2 unidades, então:
Então, cada cateto mede
unidades.
Passo 3
Agora, vamos considerar o retângulo inscrito no triângulo. Vamos chamar
de um dos lados do retângulo que está sobre um dos catetos do triângulo. Precisamos relacionar
com a altura
do retângulo.
Como o triângulo é is��sceles, a relação entre
e
será linear. Quando
,
, e quando
,
. Portanto, a relação entre
e
é:
Isso porque, conforme
aumenta,
diminui de uma forma linear.
Passo 4
Com
em função de
, podemos agora expressar a área
do retângulo. A área de um retângulo é dada por:
Aqui, a base é
e a altura é
. Então:
Portanto, a função que expressa a área do retângulo em função de
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida e faz sentido no contexto do problema.
No nosso caso:
-
representa a base do retângulo, que não pode ser negativa. - Além disso,
não pode ser maior que o cateto do triângulo, que é .
Então, os valores possíveis para
estão entre 0 e
. Assim, o domínio de
é:
Resposta
A função que expressa a área do retângulo em função de
é
e o domínio de
é
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A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
. Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
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A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Qual a área máxima que este retângulo assume? Em qual medida essa área máxima é atingida?
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(a)
(a)