A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Determine a função , que expressa a área do retângulo em função de . Qual o domínio de ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um triângulo retângulo isósceles com a hipotenusa medindo 2 unidades. Dentro desse triângulo, está inscrito um retângulo. A pergunta é para encontrarmos uma função que representa a área desse retângulo em função de , e também para determinar o domínio dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos e áreas de figuras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do triângulo. Sabendo que é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Vamos chamar o comprimento de cada cateto de . A hipotenusa é dada pela fórmula:
Sabemos que a hipotenusa mede 2 unidades, então:
Então, cada cateto mede unidades.

Passo 3

Agora, vamos considerar o retângulo inscrito no triângulo. Vamos chamar de um dos lados do retângulo que está sobre um dos catetos do triângulo. Precisamos relacionar com a altura do retângulo.
Como o triângulo é is��sceles, a relação entre e será linear. Quando , , e quando , . Portanto, a relação entre e é:
Isso porque, conforme aumenta, diminui de uma forma linear.

Passo 4

Com em função de , podemos agora expressar a área do retângulo. A área de um retângulo é dada por:
Aqui, a base é e a altura é . Então:
Portanto, a função que expressa a área do retângulo em função de é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida e faz sentido no contexto do problema.
No nosso caso:
  • representa a base do retângulo, que não pode ser negativa.
  • Além disso, não pode ser maior que o cateto do triângulo, que é .
Então, os valores possíveis para estão entre 0 e . Assim, o domínio de é:

Resposta

A função que expressa a área do retângulo em função de é
e o domínio de é

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A figura a seguir mostra o gráfico de uma função com domínio e imagem . Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
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A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Qual a área máxima que este retângulo assume? Em qual medida essa área máxima é atingida?
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(a)