A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Qual a área máxima que este retângulo assume? Em qual medida essa área máxima é atingida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um retângulo dentro de um triângulo retângulo isósceles, onde a hipotenusa mede 2 unidades. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter e em que medida essa área ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo básico sobre otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do triângulo. Como é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Sabemos que a hipotenusa
é 2 unidades. Pela relação de Pitágoras:
Como
:
Então, cada cateto mede
unidades.
Passo 3
Agora, vamos pensar no retângulo inscrito. Suponha que a base do retângulo esteja sobre um dos catetos e a altura esteja perpendicular a esse cateto. Se chamarmos a base do retângulo de
, a altura será proporcional a
, considerando as dimensões do triângulo.
Como o triângulo é isósceles, a altura do retângulo em relação à base
será:
Passo 4
A área
do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área. Para isso, derivamos a função
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo
na expressão da altura
:
Então, ambos
e
são
unidades.
Passo 6
Agora, calculamos a área máxima:
Resposta
A área máxima que o retângulo pode ter é
unidades quadradas, atingida quando a base e a altura do retângulo medem
unidades cada.
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A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Determine a função
, que expressa a área do retângulo em função de
. Qual o domínio de
?
A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
. Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(a)
(a)
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(e)
(e)