A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Qual a área máxima que este retângulo assume? Em qual medida essa área máxima é atingida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um retângulo dentro de um triângulo retângulo isósceles, onde a hipotenusa mede 2 unidades. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter e em que medida essa área ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo básico sobre otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do triângulo. Como é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Sabemos que a hipotenusa é 2 unidades. Pela relação de Pitágoras:
Como :
Então, cada cateto mede unidades.

Passo 3

Agora, vamos pensar no retângulo inscrito. Suponha que a base do retângulo esteja sobre um dos catetos e a altura esteja perpendicular a esse cateto. Se chamarmos a base do retângulo de , a altura será proporcional a , considerando as dimensões do triângulo.
Como o triângulo é isósceles, a altura do retângulo em relação à base será:

Passo 4

A área do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área. Para isso, derivamos a função em relação a e igualamos a zero:

Passo 5

Substituindo na expressão da altura :
Então, ambos e são unidades.

Passo 6

Agora, calculamos a área máxima:
á

Resposta

A área máxima que o retângulo pode ter é unidades quadradas, atingida quando a base e a altura do retângulo medem unidades cada.

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A figura a seguir mostra o gráfico de uma função com domínio e imagem . Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(a)
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(e)