A figura a seguir mostra o gráfico de uma função com domínio e imagem . Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os domínios e as imagens da função transformada com base na função original , que tem domínio e imagem . Aqui, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente translações horizontais. Para resolver, precisamos entender como a alteração dentro do argumento da função (nesse caso, ) afeta o domínio e a imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Para , sabemos que varia de 0 a 2.
Quando temos , isso significa que estamos transladando a função 2 unidades para a esquerda no eixo . Para encontrar o novo domínio, precisamos resolver a desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade para :
Subtraindo 2 de todos os lados:
Então, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a imagem. A imagem de uma função são todos os valores de que a função alcança. No caso, a imagem de é .
Quando aplicamos uma translação horizontal, como , a imagem da função não muda. Isso porque a translação horizontal não altera os valores de , apenas muda onde esses valores ocorrem no eixo .
Então, a imagem de continua sendo .

Resposta

O domínio de é e a imagem é .

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A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Determine a função , que expressa a área do retângulo em função de . Qual o domínio de ?