A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
. Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os domínios e as imagens da função transformada
com base na função original
, que tem domínio
e imagem
. Aqui, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente translações horizontais. Para resolver, precisamos entender como a alteração dentro do argumento da função (nesse caso,
) afeta o domínio e a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Para
, sabemos que
varia de 0 a 2.
Quando temos
, isso significa que estamos transladando a função 2 unidades para a esquerda no eixo
. Para encontrar o novo domínio, precisamos resolver a desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade para
:
Subtraindo 2 de todos os lados:
Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a imagem. A imagem de uma função são todos os valores de
que a função alcança. No caso, a imagem de
é
.
Quando aplicamos uma translação horizontal, como
, a imagem da função não muda. Isso porque a translação horizontal não altera os valores de
, apenas muda onde esses valores ocorrem no eixo
.
Então, a imagem de
continua sendo
.
Resposta
O domínio de
é
e a imagem é
.
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com domínio
e imagem
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A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Determine a função
, que expressa a área do retângulo em função de
. Qual o domínio de
?