E A figura mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa ligadas por uma barra de comprimento e massa desprezível. Identifique os referenciais. © Considerando que a barra tenha massa igual a , qual é o momento de inércia em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo rígido formado por duas partículas de massa ligadas por uma barra de comprimento . A gente precisa identificar os referenciais e, especificamente na parte ©, calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à barra, considerando que a barra tem massa . Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais afastada a massa estiver do eixo, maior o momento de inércia.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o centro de massa ( ) do sistema. Como temos duas partículas de massa e uma barra de massa , precisamos calcular a posição do centro de massa levando em conta todas essas massas.

Passo 4

Vamos considerar a barra como estando no eixo horizontal, com as duas partículas de massa nas extremidades. O comprimento total é . Primeiro, calculamos a posição do centro de massa das duas partículas.

Passo 5

Como as duas partículas têm a mesma massa e estão equidistantes do centro, o centro de massa delas está exatamente no meio da barra, ou seja, na posição .

Passo 6

Agora, incluímos a massa da barra. A barra tem massa e está distribuída uniformemente. O centro de massa da barra está também no meio, na posição .

Passo 7

Então, o centro de massa total do sistema também está no meio da barra, já que as massas das partículas e da barra estão simetricamente distribuídas.

Passo 8

Com o centro de massa identificado, vamos calcular o momento de inércia . Esse momento de inércia é a soma dos momentos de inércia de cada parte do sistema em relação ao centro de massa.

Passo 9

Primeiro, calculamos o momento de inércia das duas partículas em relação ao centro de massa. Cada partícula está a uma distância de do centro.
Então, para cada partícula:
í
Como são duas partículas:
í

Passo 10

Agora, calculamos o momento de inércia da barra em relação ao centro de massa. Para uma barra de massa e comprimento , o momento de inércia em relação ao seu centro é:
Aqui, , então:

Passo 11

Finalmente, somamos os momentos de inércia das partículas e da barra para obter o momento de inércia total do sistema:
í

Passo 12

Para somar as frações, encontramos o denominador comum:

Resposta

O momento de inércia em relação ao centro de massa e perpendicular à barra é:

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E A figura mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa ligadas por uma barra de comprimento e massa desprezível. Identifique os referenciais. (d) Ainda considerando que a barra tenha massa igual a , qual é o momento de inércia do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra em paralelo ao primeiro eixo?
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