E A figura mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível. Identifique os referenciais. © Considerando que a barra tenha massa igual a 4 m, qual é o momento de inércia IC M em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo rígido formado por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L. A gente precisa identificar os referenciais e, especificamente na parte ©, calcular o momento de inércia ICM em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à barra, considerando que a barra tem massa 4m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais afastada a massa estiver do eixo, maior o momento de inércia.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o centro de massa ( CM) do sistema. Como temos duas partículas de massa m e uma barra de massa 4m, precisamos calcular a posição do centro de massa levando em conta todas essas massas.

Passo 4

Vamos considerar a barra como estando no eixo horizontal, com as duas partículas de massa m nas extremidades. O comprimento total é L. Primeiro, calculamos a posição do centro de massa das duas partículas.

Passo 5

Como as duas partículas têm a mesma massa e estão equidistantes do centro, o centro de massa delas está exatamente no meio da barra, ou seja, na posição L/2.

Passo 6

Agora, incluímos a massa da barra. A barra tem massa 4m e está distribuída uniformemente. O centro de massa da barra está também no meio, na posição L/2.

Passo 7

Então, o centro de massa total do sistema também está no meio da barra, já que as massas das partículas e da barra estão simetricamente distribuídas.

Passo 8

Com o centro de massa identificado, vamos calcular o momento de inércia ICM. Esse momento de inércia é a soma dos momentos de inércia de cada parte do sistema em relação ao centro de massa.

Passo 9

Primeiro, calculamos o momento de inércia das duas partículas em relação ao centro de massa. Cada partícula está a uma distância de L/2 do centro.
Então, para cada partícula:
Ipartícula = m (L2)^2 = mL^24 í
Como são duas partículas:
Ipartículas total = 2 times mL^24 = mL^22 í

Passo 10

Agora, calculamos o momento de inércia da barra em relação ao centro de massa. Para uma barra de massa M e comprimento L, o momento de inércia em relação ao seu centro é:
Ibarra = 112 M L^2
Aqui, M = 4m, então:
Ibarra = 112 times 4m times L^2 = mL^23

Passo 11

Finalmente, somamos os momentos de inércia das partículas e da barra para obter o momento de inércia total do sistema:
ICM = Ipartículas total + Ibarra = mL^22 + mL^23 í

Passo 12

Para somar as frações, encontramos o denominador comum:
mL^22 + mL^23 = 3mL^2 + 2mL^26 = 5mL^26

Resposta

O momento de inércia ICM em relação ao centro de massa e perpendicular à barra é:
ICM = 5mL^26

Exercícios relacionados