A figura representa a trajetória do lançamento vertical de um projétil de massa m, a partir do solo, com velocidade inicial v(0)=v0 j, com v0>0. Além de estar sujeito à aceleração da gravidade, durante o vôo o projétil também sofre a ação de um vento que sopra na direção horizontal e que imprime uma aceleração constante adicional av ao projétil, da forma av=a1 widehati, onde a1>0. Nas soluções dos itens abaixo, utilize quando necessário os unitários i e j associados ao sistema de eixos coordenados OXY , e as quantidades m, v0, a1 e o módulo g da aceleração da gravidade local. c) Determine a que distância do ponto de lançamento o projétil atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado verticalmente do chão com uma velocidade inicial , ou seja, só pra cima mesmo. Além da gravidade que puxa o projétil pra baixo com aceleração , tem um vento que sopra na horizontal, adicionando uma aceleração constante . Nosso objetivo aqui é descobrir a que distância do ponto de lançamento o projétil volta a tocar o solo. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado tanto na vertical quanto na horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento na direção vertical ( y(t) = v0 t - 12 g t^2 ). Sabemos que o projétil é lançado para cima com velocidade inicial e está sujeito à aceleração da gravidade que atua para baixo. A equação que descreve a posição vertical em função do tempo é:
Queremos saber quando o projétil retorna ao solo, ou seja, quando .

Passo 3

Vamos resolver a equação 0 = v0 t - 12 g t^2 :
t (v0 - 12 g t) = 0
Podemos fatorar v0 = 12 g t :
t = 2 v0g
Isso nos dá duas soluções: (no momento do lançamento) e . Ignoramos porque buscamos o tempo quando o projétil volta ao solo.
Resolvendo para :
Então, o tempo total de voo é .

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento na direção horizontal ( x(t) = 12 a1 t^2 ). O projétil começa com velocidade horizontal zero, mas devido ao vento, há uma aceleração constante . A posição horizontal em função do tempo é dada por:
Queremos saber a posição horizontal quando o projétil toca o solo, ou seja, quando .

Passo 5

Substituindo x(2 v0g) = 12 a1 (2 v0g)^2 na equação de x = 12 a1 cdot 4 v0^2g^2 :
x = 2 a1 v0^2g^2

Resposta

A distância horizontal que o projétil atinge o solo é:
x = 2 a1 v0^2g^2

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