A figura representa a trajetória do lançamento vertical de um projétil de massa m, a partir do solo, com velocidade inicial v(0)=v0 j, com v0>0. Além de estar sujeito à aceleração da gravidade, durante o vôo o projétil também sofre a ação de um vento que sopra na direção horizontal e que imprime uma aceleração constante adicional av ao projétil, da forma av=a1 widehati, onde a1>0. Nas soluções dos itens abaixo, utilize quando necessário os unitários i e j associados ao sistema de eixos coordenados OXY , e as quantidades m, v0, a1 e o módulo g da aceleração da gravidade local. a) Determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) do projétil em função do tempo, durante seu vôo.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado verticalmente do chão com uma velocidade inicial , onde . Além da gravidade que puxa o projétil para baixo com aceleração , tem um vento soprando na direção horizontal que adiciona uma aceleração constante , onde . Precisamos determinar os vetores velocidade e posição do projétil em função do tempo durante o voo.
Para resolver isso, vamos usar as equações de movimento para vetores em duas dimensões, considerando as acelerações horizontais e verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a componente horizontal do movimento. O projétil não tem velocidade inicial na direção horizontal ( vx(t) = vx0 + ax t ), mas sofre uma aceleração constante devido ao vento vx(t) = a1 t .
A equação para a velocidade na direção horizontal é:
Como e , temos:

Passo 3

Agora, vamos para a componente vertical. A velocidade inicial na direção vertical é vy(t) = vy0 + ay t , e a única aceleração é a da gravidade, que atua para baixo com vy(t) = v0 - g t .
A equação para a velocidade na direção vertical é:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, juntando as componentes horizontal e vertical, o vetor velocidade v(t) = vx(t) i + vy(t) j = a1 t i + (v0 - g t) j fica:

Passo 5

Vamos agora encontrar a posição x(t) = x0 + integral vx(t) , dt = 0 + integral a1 t , dt = 12 a1 t^2 . Para isso, integramos as velocidades em relação ao tempo.
Para a componente horizontal:
y(t) = y0 + integral vy(t) , dt = 0 + integral (v0 - g t) , dt = v0 t - 12 g t^2
Já que o projétil parte do solo, .
Para a componente vertical:
Novamente, porque o lançamento parte do solo.

Resposta

Os vetores velocidade e posição do projétil em função do tempo são:
v(t) = a1 t i + (v0 - g t) j
r(t) = 12 a1 t^2 i + (v0 t - 12 g t^2) j

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