Sabendo se que a aceleração de um corpo é a=g, onde g é uma constante. Determine a expressão para velocidade, posição vertical e para velocidade independente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que a aceleração de um corpo é constante e igual a . Nosso objetivo é encontrar três coisas: a expressão da velocidade em função do tempo, a posição vertical em função do tempo e uma expressão para a velocidade que não dependa do tempo diretamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de Cinemática, que estuda o movimento dos corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a = dvdt
Como dvdt = g , podemos escrever:

Passo 3

Para achar a velocidade, vamos integrar essa equação em relação ao tempo. A integral de v(t) = integral g , dt = g t + C nos dá a velocidade v(t) = v0 + g t :
Aqui, é a constante de integração, que representa a velocidade inicial do corpo, vamos chamar de . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição vertical em função do tempo. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral v(t) , dt = integral (v0 + g t) , dt
Integrando, temos:
s(t) = v0 t + 12 g t^2 + C'
Onde s(t) = s0 + v0 t + 12 g t^2 é outra constante de integração, que representa a posição inicial, chamada de . Então:

Passo 5

Por fim, queremos uma expressão para a velocidade independente do tempo. Para isso, vamos relacionar a velocidade com a posição sem envolver o tempo diretamente. Podemos usar a seguinte relação:
v^2 = v0^2 + 2 g (s - s0)
Essa equação mostra a velocidade em termos da posição vertical, sem precisar do tempo.

Resposta

As expressões são:
  • Velocidade em função do tempo:
    v(t) = v0 + g t
  • Posição vertical em função do tempo:
    s(t) = s0 + v0 t + 12 g t^2
  • Velocidade independente do tempo:
    v^2 = v0^2 + 2 g (s - s0)

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