Na figura a seguir estão representados os gráficos das funções e para . Seja . Descreva em termos de união de intervalos da reta real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções: e , definidas no intervalo de . A gente precisa descobrir para quais valores de o produto dessas funções é menor que zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre os sinais das funções seno e cosseno em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar onde as funções e são positivas ou negativas no círculo trigonométrico:
  • Quadrante I (0 a ): Ambas as funções são positivas.
  • Quadrante II ( a ): é negativa e é positiva.
  • Quadrante III ( a ): Ambas as funções são negativas.
  • Quadrante IV ( a ): é positiva e é negativa.
Como estamos trabalhando no intervalo de a , que em radianos é aproximadamente 3,183 (pois ), vamos identificar os pontos onde as funções mudam de sinal dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde , ou seja, onde uma função é positiva e a outra negativa:
  1. Quadrante II ( a ):
    • Produto:
  2. Quadrante IV ( a ):
    • Produto:
Além disso, como o intervalo vai até , precisamos considerar mais uma “volta” completa:
  1. Entre (≈6,283) e (≈7,854):
    • Produto:
  2. Entre (≈11,0) e :
    • Esse intervalo está além de , então não precisamos considerar.

Passo 4

Agora, vamos converter esses intervalos em termos de :
  1. (≈1,571 < x < 3,142)
  2. (≈4,712 < x < 6,283)
  3. (≈7,854 < x < 9,425)

Resposta

A união dos intervalos onde é:

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Esboce o gráfico das funções a seguir: (d) .
Seja uma função. (b) Sabendo que e , se é uma função afim, então qual é o valor de ?
Resolva em as equações e inequações a seguir: (d) .
Resolva em as equações e inequações a seguir: (i) .