Na figura a seguir estão representados os gráficos das funções
e
para
. Seja
. Descreva
em termos de união de intervalos da reta real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções:
e , definidas no intervalo de
. A gente precisa descobrir para quais valores de
o produto dessas funções é menor que zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre os sinais das funções seno e cosseno em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar onde as funções
e são positivas ou negativas no círculo trigonométrico:
- Quadrante I (0 a
): Ambas as funções são positivas. - Quadrante II (
a ): é negativa e é positiva. - Quadrante III (
a ): Ambas as funções são negativas. - Quadrante IV (
a ): é positiva e é negativa.
Como estamos trabalhando no intervalo de
a
, que em radianos é aproximadamente 3,183 (pois
), vamos identificar os pontos onde as funções mudam de sinal dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos identificar onde
, ou seja, onde uma função é positiva e a outra negativa:
-
Quadrante II (
a ): -
- Produto:
-
-
Quadrante IV (
a ): -
- Produto:
-
Além disso, como o intervalo vai até
, precisamos considerar mais uma “volta” completa:
-
Entre
(≈6,283) e (≈7,854): -
- Produto:
-
-
Entre
(≈11,0) e : - Esse intervalo está além de
, então não precisamos considerar.
- Esse intervalo está além de
Passo 4
Agora, vamos converter esses intervalos em termos de
:
-
(≈1,571 < x < 3,142) -
(≈4,712 < x < 6,283) -
(≈7,854 < x < 9,425)
Resposta
A união dos intervalos onde
é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções a seguir: (d)
.
Seja
uma função. (b) Sabendo que
e
, se
é uma função afim, então qual é o valor de
?
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (d)
.
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (i)
.