Problema - Para cada um dos exercícios de (6) a (8), encontre as regras a partir dos elementos dados das sequências
8)
.
8)
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência de números:
. O objetivo aqui é descobrir a regra que gera essa sequência. Ou seja, encontrar uma fórmula geral para o
-ésimo termo (
) da sequência. Para isso, vamos observar como os termos estão mudando e tentar identificar um padrão.
Passo 2
Vamos olhar para os denominadores dos termos: 3, 7, 11, 15, 19, etc. Notamos que cada denominador aumenta de 4 em 4. Isso significa que a diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 4.
Passo 3
Sabendo que a sequência dos denominadores começa em 3 e aumenta de 4 em 4, podemos expressar o denominador do
-ésimo termo como uma expressão linear. A fórmula geral para o denominador será:
Simplificando essa expressão:
Passo 4
Agora que temos o denominador do
-ésimo termo, podemos escrever a fórmula completa para a sequência. Cada termo da sequência é o inverso desse denominador. Portanto:
Resposta
A regra geral da sequência é
.
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24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se e
, então, necessariamente
. Dica: escreva a definição para
com
e
. Faça o mesmo para
Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária e construa o argumento…
24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se
Na figura, temos uma sucessão de quadrados inscritos em outros que são obtidos a partir de um primeiro quadrado de lado
. Assim, ao se ligar os pontos médios de seus lados adjacentes, obtemos um quadrado imediatemante menor. A considerar que este processo siga infinitamente,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de ,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de