Figure 7.1.4 suggests, but does not prove, that the function f(t) = e^(t^2) is not of exponential order. How does the observation that t^2 ln M + c t, for M 0 and t sufficiently la ge, show that e^(t^2) M e^(c t) for any c ?

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos entender por que a função não é de ordem exponencial. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise matemática relacionados ao crescimento de funções exponenciais e polinomiais. Precisaremos entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como comparar o crescimento de com uma função linear como .

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma função de ordem exponencial. Uma função é dita ser de ordem exponencial se existe um número real e uma constante tal que para todo suficientemente grande:
Isso significa que, para grandes valores de , a função cresce no máximo tão rápido quanto uma função exponencial .

Passo 3

Agora, consideramos a função . Queremos verificar se existe algum e que satisfaçam a condição acima. A observação dada é que para e suficientemente grande.
Vamos entender o que isso significa. Se fosse menor ou igual a uma função linear mais uma constante , então, ao aplicarmos a exponencial dos dois lados, teríamos:
Isso mostraria que está limitada por , satisfazendo a condição de ser de ordem exponencial.

Passo 4

Contudo, precisamos verificar se é realmente possível para todos os suficientemente grandes. Analisando o crescimento das funções:
  • é uma função quadrática que cresce mais rapidamente que qualquer função linear conforme tende ao infinito.
  • é uma constante e não afeta o crescimento para valores grandes de .
Portanto, para qualquer , eventualmente será maior que mais uma constante, ou seja, a desigualdade não será válida para todos os suficientemente grandes.

Passo 5

Isso implica que não existe nenhum e que tornam limitada por . Como não conseguimos encontrar tais constantes, concluímos que não é uma função de ordem exponencial.

Resposta

A função não é de ordem exponencial porque não existe nenhum e que satisfaçam a condição para todos os suficientemente grandes.

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