Figure 7.1.4 suggests, but does not prove, that the function
is not of exponential order. How does the observation that
, for
and
sufficiently la ge, show that
for any
?
Passo 1
Vamos analisar o problema: queremos entender por que a função
não é de ordem exponencial. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise matemática relacionados ao crescimento de funções exponenciais e polinomiais. Precisaremos entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como comparar o crescimento de
com uma função linear como
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma função de ordem exponencial. Uma função
é dita ser de ordem exponencial se existe um número real
e uma constante
tal que para todo
suficientemente grande:
Isso significa que, para grandes valores de
, a função
cresce no máximo tão rápido quanto uma função exponencial
.
Passo 3
Agora, consideramos a função
. Queremos verificar se existe algum
e
que satisfaçam a condição acima. A observação dada é que
para
e
suficientemente grande.
Vamos entender o que isso significa. Se
fosse menor ou igual a uma função linear
mais uma constante
, então, ao aplicarmos a exponencial dos dois lados, teríamos:
Isso mostraria que
está limitada por
, satisfazendo a condição de ser de ordem exponencial.
Passo 4
Contudo, precisamos verificar se
é realmente possível para todos os
suficientemente grandes. Analisando o crescimento das funções:
-
é uma função quadrática que cresce mais rapidamente que qualquer função linear conforme tende ao infinito. -
é uma constante e não afeta o crescimento para valores grandes de .
Portanto, para qualquer
, eventualmente
será maior que
mais uma constante, ou seja, a desigualdade
não será válida para todos os
suficientemente grandes.
Passo 5
Isso implica que não existe nenhum
e
que tornam
limitada por
. Como não conseguimos encontrar tais constantes, concluímos que
não é uma função de ordem exponencial.
Resposta
A função
não é de ordem exponencial porque não existe nenhum
e
que satisfaçam a condição
para todos os
suficientemente grandes.
Exercícios relacionados
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find
.
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Make up a function
that is of exponential order but where
is not of exponential order. Make up a function
that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.