In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that Gamma(1/2) = raiz(pi) to find the Laplace transform of the given function.
f(t) = t^(-1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Isso envolve usar conceitos de cálculo como integrais e a função Γ (Gamma), que é uma extensão do fatorial. Para isso, vamos precisar entender como a Transformada de Laplace funciona e como aplicar a função Gamma nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A fórmula geral da Transformada de Laplace é:

Passo 3

No nosso caso, a função é . Então, vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Essa integral é uma forma conhecida que se relaciona com a função Γ (Gamma). A Transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:

Passo 6

Sabemos que . Então, substituindo isso na expressão:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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