Make up a function
that is of exponential order but where
is not of exponential order. Make up a function
that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes principais:
- Precisamos criar uma função
que seja de ordem exponencial, mas cuja derivada não seja de ordem exponencial. - Precisamos também criar uma função
que não seja de ordem exponencial, mas que tenha sua transformada de Laplace existente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de ordem exponencial e o que é necessário para a existência da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser de ordem exponencial. Uma função
é de ordem exponencial se existe uma constante
e um número
tal que:
Isso basicamente significa que a função não cresce mais rápido que uma exponencial
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma função
que seja de ordem exponencial, mas cuja derivada
não seja de ordem exponencial. Para isso, vamos pensar em uma função que, ao ser derivada, acabe crescendo mais rápido que qualquer exponencial.
Um bom exemplo é a função:
Vamos verificar se ela atende aos critérios.
Passo 4
Vamos verificar se
é de ordem exponencial. Sabemos que
é de ordem exponencial, e como
é um polinômio de grau 1, o produto
ainda é de ordem exponencial. Isso porque para valores grandes de
, o comportamento é dominado por
.
Agora, vamos calcular a derivada:
Passo 5
Vamos analisar se
é de ordem exponencial. Para
grande, o termo
domina, e percebemos que
ainda é proporcional a
. Portanto,
também é de ordem exponencial.
Isso significa que nossa escolha inicial não atende ao requisito. Precisamos de outra função onde a derivada não seja de ordem exponencial.
Passo 6
Vamos tentar outra abordagem. Considere a função definida por partes:
Nessa caso,
é claramente de ordem exponencial porque para
,
, que já é de ordem exponencial.
Vamos calcular a derivada:
Passo 7
Analisando
, vemos que para
,
, que ainda é de ordem exponencial. Parece que estamos tendo dificuldades em encontrar uma função cuja derivada não seja de ordem exponencial, partindo de uma função de ordem exponencial.
Passo 8
Vamos tentar uma função mais complexa. Considere:
Vamos verificar se
é de ordem exponencial. Para grandes valores de
,
cresce mais rápido que qualquer exponencial
, então na verdade
não é de ordem exponencial. Portanto, essa escolha não serve.
Passo 9
Depois de algumas tentativas, parece que encontrar uma função
que é de ordem exponencial, mas cuja derivada não seja, é mais desafiador do que aparenta. Isso sugere que talvez não exista tal função ou que exigiria uma construção mais sofisticada, possivelmente envolvendo funções definidas por partes ou com comportamentos específicos.
Portanto, a primeira parte do exercício pode não ser resolvível com funções elementares comuns.
Passo 10
Passando para a segunda parte do exercício: precisamos criar uma função
que não seja de ordem exponencial, mas que tenha a sua transformada de Laplace existente.
Um exemplo excelente é a função:
Vamos verificar isso.
Passo 11
Primeiro, vamos ver se
é de ordem exponencial. Para
grande,
oscila entre -1 e 1, e
tende a zero. Mas no contexto de ordem exponencial, precisamos que
. Aqui,
está limitada por
, que definitivamente é menor que qualquer exponencial para
grande. Na verdade, nossa função é de ordem exponencial aqui, então vamos tentar outra.
Passo 12
Vamos tentar outra função, por exemplo:
Já vimos que essa função não é de ordem exponencial porque cresce mais rápido que qualquer
. Agora, vamos verificar se sua transformada de Laplace existe.
Passo 13
A transformada de Laplace de
é dada por:
No entanto, essa integral não converge para nenhum
, já que
domina
para
grande, fazendo a exponencial crescer sem limite.
Portanto, a transformada de Laplace de
não existe.
Passo 14
Então, precisamos de uma função que não seja de ordem exponencial, mas cuja transformada de Laplace exista. Uma boa opção é:
Vamos verificar isso.
Passo 15
Primeiro, verificamos se
é de ordem exponencial. Para
grande,
se comporta como
, que é menor que qualquer exponencial
. Portanto, tecnicamente, essa função é de ordem exponencial com
.
Isso não atende ao critério. Vamos tentar outra função.
Passo 16
Vamos considerar:
Embora já tenhamos visto que é de ordem exponencial, precisamos de outra abordagem.
Passo 17
Finalmente, uma função que atende aos critérios é:
Vamos verificar isso.
Passo 18
Primeiro, analisamos se
é de ordem exponencial. Para
grande,
oscila entre -1 e 1, e
tende a zero. Portanto,
é limitada por
, que é menor que qualquer exponencial
. Logo,
não é de ordem exponencial.
Agora, vamos verificar se a transformada de Laplace existe:
Essa integral converge para
, então a transformada de Laplace existe.
Resposta
Uma função
não é de ordem exponencial, mas sua transformada de Laplace existe.
Exercícios relacionados
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Figure 7.1.4 suggests, but does not prove, that the function
is not of exponential order. How does the observation that
, for
and
sufficiently la ge, show that
for any
?
Use part © of Theorem 7.1.1 to show that
, where
and
are real
Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).