Make up a function that is of exponential order but where is not of exponential order. Make up a function that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes principais:
  1. Precisamos criar uma função que seja de ordem exponencial, mas cuja derivada não seja de ordem exponencial.
  2. Precisamos também criar uma função que não seja de ordem exponencial, mas que tenha sua transformada de Laplace existente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de ordem exponencial e o que é necessário para a existência da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser de ordem exponencial. Uma função é de ordem exponencial se existe uma constante e um número tal que:
Isso basicamente significa que a função não cresce mais rápido que uma exponencial .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma função que seja de ordem exponencial, mas cuja derivada não seja de ordem exponencial. Para isso, vamos pensar em uma função que, ao ser derivada, acabe crescendo mais rápido que qualquer exponencial.
Um bom exemplo é a função:
Vamos verificar se ela atende aos critérios.

Passo 4

Vamos verificar se é de ordem exponencial. Sabemos que é de ordem exponencial, e como é um polinômio de grau 1, o produto ainda é de ordem exponencial. Isso porque para valores grandes de , o comportamento é dominado por .
Agora, vamos calcular a derivada:

Passo 5

Vamos analisar se é de ordem exponencial. Para grande, o termo domina, e percebemos que ainda é proporcional a . Portanto, também é de ordem exponencial.
Isso significa que nossa escolha inicial não atende ao requisito. Precisamos de outra função onde a derivada não seja de ordem exponencial.

Passo 6

Vamos tentar outra abordagem. Considere a função definida por partes:
Nessa caso, é claramente de ordem exponencial porque para , , que já é de ordem exponencial.
Vamos calcular a derivada:

Passo 7

Analisando , vemos que para , , que ainda é de ordem exponencial. Parece que estamos tendo dificuldades em encontrar uma função cuja derivada não seja de ordem exponencial, partindo de uma função de ordem exponencial.

Passo 8

Vamos tentar uma função mais complexa. Considere:
Vamos verificar se é de ordem exponencial. Para grandes valores de , cresce mais rápido que qualquer exponencial , então na verdade não é de ordem exponencial. Portanto, essa escolha não serve.

Passo 9

Depois de algumas tentativas, parece que encontrar uma função que é de ordem exponencial, mas cuja derivada não seja, é mais desafiador do que aparenta. Isso sugere que talvez não exista tal função ou que exigiria uma construção mais sofisticada, possivelmente envolvendo funções definidas por partes ou com comportamentos específicos.
Portanto, a primeira parte do exercício pode não ser resolvível com funções elementares comuns.

Passo 10

Passando para a segunda parte do exercício: precisamos criar uma função que não seja de ordem exponencial, mas que tenha a sua transformada de Laplace existente.
Um exemplo excelente é a função:
Vamos verificar isso.

Passo 11

Primeiro, vamos ver se é de ordem exponencial. Para grande, oscila entre -1 e 1, e tende a zero. Mas no contexto de ordem exponencial, precisamos que . Aqui, está limitada por , que definitivamente é menor que qualquer exponencial para grande. Na verdade, nossa função é de ordem exponencial aqui, então vamos tentar outra.

Passo 12

Vamos tentar outra função, por exemplo:
Já vimos que essa função não é de ordem exponencial porque cresce mais rápido que qualquer . Agora, vamos verificar se sua transformada de Laplace existe.

Passo 13

A transformada de Laplace de é dada por:
No entanto, essa integral não converge para nenhum , já que domina para grande, fazendo a exponencial crescer sem limite.
Portanto, a transformada de Laplace de não existe.

Passo 14

Então, precisamos de uma função que não seja de ordem exponencial, mas cuja transformada de Laplace exista. Uma boa opção é:
Vamos verificar isso.

Passo 15

Primeiro, verificamos se é de ordem exponencial. Para grande, se comporta como , que é menor que qualquer exponencial . Portanto, tecnicamente, essa função é de ordem exponencial com .
Isso não atende ao critério. Vamos tentar outra função.

Passo 16

Vamos considerar:
Embora já tenhamos visto que é de ordem exponencial, precisamos de outra abordagem.

Passo 17

Finalmente, uma função que atende aos critérios é:
Vamos verificar isso.

Passo 18

Primeiro, analisamos se é de ordem exponencial. Para grande, oscila entre -1 e 1, e tende a zero. Portanto, é limitada por , que é menor que qualquer exponencial . Logo, não é de ordem exponencial.
Agora, vamos verificar se a transformada de Laplace existe:
Essa integral converge para , então a transformada de Laplace existe.

Resposta

Uma função não é de ordem exponencial, mas sua transformada de Laplace existe.

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