In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace e a função Gamma, que é uma generalização do fatorial para números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Isso significa que a gente vai integrar a função
multiplicada por
de 0 ao infinito.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, vamos substituir na definição:
Essa integral é uma forma da função Gamma, que é definida por:
Comparando as duas expressões, podemos ajustar a nossa integral para se parecer com a função Gamma.
Passo 4
Para isso, fazemos uma substituição na variável da nossa integral. Vamos definir
, então
e
. Substituindo na integral:
A integral resultante é precisamente
.
Passo 5
Sabemos que:
E também que:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: