In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that Gamma(1/2) = raiz(pi) to find the Laplace transform of the given function.
f(t) = t^(1/2)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace e a função Gamma, que é uma generalização do fatorial para números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Isso significa que a gente vai integrar a função multiplicada por de 0 ao infinito.

Passo 3

No nosso caso, . Então, vamos substituir na definição:
Essa integral é uma forma da função Gamma, que é definida por:
Comparando as duas expressões, podemos ajustar a nossa integral para se parecer com a função Gamma.

Passo 4

Para isso, fazemos uma substituição na variável da nossa integral. Vamos definir , então e . Substituindo na integral:
A integral resultante é precisamente .

Passo 5

Sabemos que:
E também que:
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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