In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função
usando o Teorema 7.1.1. Então, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar aplicar a propriedade da linearidade e conhecer as transformadas básicas de
e de constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema 7.1.1, que geralmente refere-se à linearidade da Transformada de Laplace. Isso significa que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função, e a transformada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela transformada da função. Em fórmula:
Passo 3
Agora, aplicando a linearidade à nossa função
:
Aqui, decompusemos a função original em duas partes:
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada transformada separadamente. Sabemos que:
E também que:
Essas são fórmulas básicas de Transformada de Laplace que usamos frequentemente.
Passo 5
Substituindo essas transformadas na equação que montamos:
Simplificando:
Resposta
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In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Figure 7.1.4 suggests, but does not prove, that the function
is not of exponential order. How does the observation that
, for
and
sufficiently la ge, show that
for any
?