Verifique se as funções são linearmente dependentes?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Precisamos determinar se as funções , e são linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de funções. Para resolver isso, vamos verificar se uma das funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa funções serem linearmente dependentes. Três funções são linearmente dependentes se pelo menos uma delas puder ser escrita como uma combinação linear das outras. Em outras palavras, existe uma relação que não é trivial (onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero).

Passo 3

Vamos analisar se alguma dessas funções pode ser expressa em termos das outras. Observamos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona e :

Passo 4

Rearranjando a identidade, temos:
Isso mostra que pode ser escrita como uma combinação das funções e . Portanto, há uma relação não trivial entre as funções fornecidas.

Resposta

As funções , e são linearmente dependentes.

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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
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Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual a 5 cm . Suponha que uma certa quantidade de água seja colocada nesse filtro e que ela escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por a altura da água no filtro e por a altura da água no recipiente.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio e altura é igual a , determine o volume da água no filtro como função de .