Find
by implicit differentiation.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando diferenciação implícita, que faz parte do cálculo diferencial. O enunciado é:
Nosso objetivo aqui é encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais, além da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que aplicaremos a derivada em cada termo cuidadosamente.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que a derivada de
é
.
Então, aplicando isso:
Explicando:
- A derivada de
é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia, já que é função de ).
Derivando o lado direito:
Aqui:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (novamente, usando a regra da cadeia).
Passo 3
Agora, juntando tudo, temos:
Nosso próximo passo é isolar
.
Vamos trazer todos os termos que contêm
para um lado da equação e os demais termos para o outro.
Fatorando
:
Passo 4
Finalmente, para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação pelo coeficiente que está multiplicando
:
Podemos simplificar um pouco mais, se preferir:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
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Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
(cissoid of Diocles)