Find by implicit differentiation.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando diferenciação implícita, que faz parte do cálculo diferencial. O enunciado é:
Nosso objetivo aqui é encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais, além da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que aplicaremos a derivada em cada termo cuidadosamente.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções: e . A regra do produto diz que a derivada de é .
Então, aplicando isso:
Explicando:
  • A derivada de é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia, já que é função de ).
Derivando o lado direito:
Aqui:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (novamente, usando a regra da cadeia).

Passo 3

Agora, juntando tudo, temos:
Nosso próximo passo é isolar .
Vamos trazer todos os termos que contêm para um lado da equação e os demais termos para o outro.
Fatorando :

Passo 4

Finalmente, para encontrar , dividimos ambos os lados da equação pelo coeficiente que está multiplicando :
Podemos simplificar um pouco mais, se preferir:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
(cissoid of Diocles)