Find by implicit differentiation.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar usando diferenciação implícita na equação . Para isso, vamos precisar conhecer diferenciação implícita, a regra da cadeia e a regra do produto. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivarmos termos com , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Começando pelo lado esquerdo: . A derivada de é multiplicado pela derivada de . Aqui, .
Então,

Passo 4

Agora, o lado direito: . Aqui usamos a regra do produto, já que temos dois fatores que dependem de .

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois lados, temos:

Passo 6

Vamos distribuir o no lado esquerdo:

Passo 7

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 8

Fatorando no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que acompanha :

Resposta

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Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
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