(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a equação
e precisamos fazer três coisas:
a) Encontrar usando diferenciação implícita.
b) Resolver a equação para de forma explícita e depois derivar para achar
em termos de
.
c) Verificar se as soluções dos itens a) e b) estão consistentes.
a) Encontrar
b) Resolver a equação para
c) Verificar se as soluções dos itens a) e b) estão consistentes.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a diferenciação implícita e a derivação de funções explícitas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Encontrar
por diferenciação implícita.
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando der formamos
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação obtida:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 4
Parte (b): Resolver a equação para
explicitamente e diferenciar.
Vamos começar isolando
na equação original:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Parte ©: Verificar a consistência das soluções.
Temos duas expressões para
:
- Pela parte (a):
- Pela parte (b):
Vamos substituir a expressão de
da parte (b) na expressão da parte (a):
Sabemos que:
Logo:
Substituindo na parte (a):
Vemos que as duas expressões são iguais, o que confirma que estão consistentes.
Resposta
As soluções para
nas partes (a) e (b) são consistentes e dadas por: