(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a equação e precisamos fazer três coisas:
a) Encontrar usando diferenciação implícita.
b) Resolver a equação para de forma explícita e depois derivar para achar em termos de .
c) Verificar se as soluções dos itens a) e b) estão consistentes.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a diferenciação implícita e a derivação de funções explícitas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar por diferenciação implícita.
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando der formamos , precisamos aplicar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação obtida:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 4

Parte (b): Resolver a equação para explicitamente e diferenciar.
Vamos começar isolando na equação original:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos derivar em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Parte ©: Verificar a consistência das soluções.
Temos duas expressões para :
  • Pela parte (a):
  • Pela parte (b):
Vamos substituir a expressão de da parte (b) na expressão da parte (a):
Sabemos que:
Logo:
Substituindo na parte (a):
Vemos que as duas expressões são iguais, o que confirma que estão consistentes.

Resposta

As soluções para nas partes (a) e (b) são consistentes e dadas por:

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(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
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(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
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Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.