(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a equação
e precisamos fazer três coisas:
a) Encontrar usando diferenciação implícita.
b) Resolver a equação para de forma explícita e depois derivar para achar
em termos de
.
c) Verificar se as soluções dos itens a) e b) estão consistentes.
a) Encontrar
b) Resolver a equação para
c) Verificar se as soluções dos itens a) e b) estão consistentes.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a diferenciação implícita e a derivação de funções explícitas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Encontrar
por diferenciação implícita.
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando der formamos
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação obtida:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 4
Parte (b): Resolver a equação para
explicitamente e diferenciar.
Vamos começar isolando
na equação original:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Parte ©: Verificar a consistência das soluções.
Temos duas expressões para
:
- Pela parte (a):
- Pela parte (b):
Vamos substituir a expressão de
da parte (b) na expressão da parte (a):
Sabemos que:
Logo:
Substituindo na parte (a):
Vemos que as duas expressões são iguais, o que confirma que estão consistentes.
Resposta
As soluções para
nas partes (a) e (b) são consistentes e dadas por:
Exercícios relacionados
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.