(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para trabalhar com a equação
. O conteúdo envolve diferenciação implícita e resolução explícita de equações para encontrar derivadas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de diferenciação e entender como manipular equações para isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
usando diferenciação implícita. Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
A equação é:
Derivando ambos os lados:
Calculando as derivadas:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação explicitamente para
e depois diferenciar para encontrar
. A partir da equação original:
Isolando
:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Agora, vamos diferenciar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Por último, vamos verificar se as soluções das partes (a) e (b) são consistentes. Da parte (a), temos:
Da parte (b), temos:
Substituindo
por
na expressão de
da parte (b):
Vemos que ambas as expressões para
são iguais, confirmando que as soluções são consistentes.
Resposta
(a)
(b)
© As duas soluções para
são consistentes após a substituição.