(a) Find y' by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y' in terms of x.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).
5 x^2 - y^3 = 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para trabalhar com a equação . O conteúdo envolve diferenciação implícita e resolução explícita de equações para encontrar derivadas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de diferenciação e entender como manipular equações para isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar usando diferenciação implícita. Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .
A equação é:
Derivando ambos os lados:
Calculando as derivadas:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação explicitamente para e depois diferenciar para encontrar . A partir da equação original:
Isolando :
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Agora, vamos diferenciar em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Por último, vamos verificar se as soluções das partes (a) e (b) são consistentes. Da parte (a), temos:
Da parte (b), temos:
Substituindo por na expressão de da parte (b):
Vemos que ambas as expressões para são iguais, confirmando que as soluções são consistentes.

Resposta

(a)
(b)
© As duas soluções para são consistentes após a substituição.

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