( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga
é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é
e raio externo
. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade
. Um próton se move em uma órbita circular de raio
do lado de fora da casca esférica. Calcule o módulo da velocidade do próton. Observação: faça um diagrama contendo a superfície gaussiana utilizada e os vetores pertinentes para a lei de Gauss.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula com carga
no centro de uma casca esférica não condutora com raios internos
e externos
. A casca tem uma distribuição de carga uniforme com densidade
. Um próton está se movendo em uma órbita circular de raio
fora da casca. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse próton. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a velocidade do próton.
Passo 2
Vamos começar entendendo a distribuição de cargas no sistema. No centro, temos uma carga pontual
. A casca esférica tem uma densidade de carga uniforme
, então a carga total na casca pode ser calculada multiplicando a densidade pelo volume da casca. O volume da casca esférica é
. Portanto, a carga total na casca é
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o campo elétrico na posição do próton, que está fora da casca esférica (ou seja,
). Usando a Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico devido a uma distribuição esférica de carga fora da distribuição é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada no centro. Assim, a carga total que afeta o próton é a soma da carga central
e da carga da casca
. Então, a carga total efetiva é
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico
a uma distância
do centro é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
O próton, com carga
, está sujeito a uma força elétrica devido ao campo
:
Note que a força elétrica está dirigida na direção do campo elétrico.
Passo 6
Como o próton está se movendo em uma órbita circular, a força elétrica fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A força centrípeta
é dada por:
onde
é a massa do próton e
é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 7
Igualando a força elétrica à força centrípeta:
Percebemos que o lado esquerdo representa a força elétrica e o direito a força necessária para a órbita circular.
Passo 8
Resolvendo para
, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A velocidade do próton é: