( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga -q é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é ra e raio externo rb. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade -rho. Um próton se move em uma órbita circular de raio R do lado de fora da casca esférica. Calcule o módulo da velocidade do próton. Observação: faça um diagrama contendo a superfície gaussiana utilizada e os vetores pertinentes para a lei de Gauss.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula com carga -q no centro de uma casca esférica não condutora com raios internos ra e externos rb. A casca tem uma distribuição de carga uniforme com densidade -rho. Um próton está se movendo em uma órbita circular de raio R fora da casca. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse próton. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a velocidade do próton.

Passo 2

Vamos começar entendendo a distribuição de cargas no sistema. No centro, temos uma carga pontual -q. A casca esférica tem uma densidade de carga uniforme -rho, então a carga total na casca pode ser calculada multiplicando a densidade pelo volume da casca. O volume da casca esférica é V = 43pi (rb^3 - ra^3). Portanto, a carga total na casca é Qcasca = -rho cdot 43pi (rb^3 - ra^3).

Passo 3

Agora, precisamos determinar o campo elétrico na posição do próton, que está fora da casca esférica (ou seja, R > rb). Usando a Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico devido a uma distribuição esférica de carga fora da distribuição é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada no centro. Assim, a carga total que afeta o próton é a soma da carga central -q e da carga da casca Qcasca. Então, a carga total efetiva é Qtotal = -q + Qcasca.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico E a uma distância R do centro é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot QtotalR^2
Substituindo Qtotal:
E = 14pivarepsilon0 cdot -q + (-rho cdot 43pi (rb^3 - ra^3))R^2

Passo 5

O próton, com carga +e, está sujeito a uma força elétrica devido ao campo E:
Fe = eE = e cdot 14pivarepsilon0 cdot -q - 43pi rho (rb^3 - ra^3)R^2
Note que a força elétrica está dirigida na direção do campo elétrico.

Passo 6

Como o próton está se movendo em uma órbita circular, a força elétrica fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A força centrípeta Fc é dada por:
Fc = mv^2R
onde m é a massa do próton e v é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 7

Igualando a força elétrica à força centrípeta:
e cdot 14pivarepsilon0 cdot -q - 43pi rho (rb^3 - ra^3)R^2 = mv^2R
Percebemos que o lado esquerdo representa a força elétrica e o direito a força necessária para a órbita circular.

Passo 8

Resolvendo para v, temos:
v = raiz e cdot 14pivarepsilon0 cdot -q - 43pi rho (rb^3 - ra^3)R^2 cdot Rm
Simplificando a expressão:
v = raiz e4pivarepsilon0 m cdot -q - 43pi rho (rb^3 - ra^3)R

Resposta

A velocidade do próton é:
v = raiz e4pivarepsilon0 m cdot -q - 43pi rho (rb^3 - ra^3)R

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