Find the divergence of the following radial vector fields:
a)
,
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a divergência de dois campos vetoriais radiais. Isso está relacionado a Cálculo Vetorial, especificamente ao conceito de divergência em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar da fórmula da divergência em coordenadas esféricas para campos que dependem apenas da distância radial
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo vetorial radial
. A fórmula é:
Isso significa que a divergência depende da derivada de
vezes a componente radial do campo.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à primeira parte da questão, onde o campo vetorial é
. Aqui, a componente radial
é
. Substituindo na fórmula da divergência:
Calculando a derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte da questão, onde o campo vetorial é
. Aqui, a componente radial
é
. Substituindo na fórmula da divergência:
Como a derivada de uma constante
em relação a
é zero, a divergência desse campo é zero.
Resposta
a) A divergência de
é
.
b) A divergência de
é
.