Find the divergence of the following radial vector fields:
a) f1(R)=aR R^n,
b) f2(R)=aR kR^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a divergência de dois campos vetoriais radiais. Isso está relacionado a Cálculo Vetorial, especificamente ao conceito de divergência em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar da fórmula da divergência em coordenadas esféricas para campos que dependem apenas da distância radial .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo vetorial radial nabla cdot F = 1R^2 partialpartial R (R^2 Fr) . A fórmula é:
Isso significa que a divergência depende da derivada de vezes a componente radial do campo.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à primeira parte da questão, onde o campo vetorial é nabla cdot f1 = 1R^2 ddR (R^2 cdot R^n) = 1R^2 ddR (R^n+2) . Aqui, a componente radial ddR (R^n+2) = (n+2) R^n+1 é nabla cdot f1 = (n+2) R^n+1R^2 = (n+2) R^n-1 . Substituindo na fórmula da divergência:
Calculando a derivada:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da questão, onde o campo vetorial é nabla cdot f2 = 1R^2 ddR (R^2 cdot kR^2) = 1R^2 ddR (k) = 0R^2 = 0 . Aqui, a componente radial é . Substituindo na fórmula da divergência:
Como a derivada de uma constante em relação a é zero, a divergência desse campo é zero.

Resposta

a) A divergência de é .
b) A divergência de é .

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