Find the divergence of the following radial vector fields:
a) ,
b) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a divergência de dois campos vetoriais radiais. Isso está relacionado a Cálculo Vetorial, especificamente ao conceito de divergência em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar da fórmula da divergência em coordenadas esféricas para campos que dependem apenas da distância radial .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo vetorial radial . A fórmula é:
Isso significa que a divergência depende da derivada de vezes a componente radial do campo.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à primeira parte da questão, onde o campo vetorial é . Aqui, a componente radial é . Substituindo na fórmula da divergência:
Calculando a derivada:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da questão, onde o campo vetorial é . Aqui, a componente radial é . Substituindo na fórmula da divergência:
Como a derivada de uma constante em relação a é zero, a divergência desse campo é zero.

Resposta

a) A divergência de é .
b) A divergência de é .

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For a scalar function and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.
Determine a magnitude do campo magnético resultante (B) em um ponto situado no plano que contém os fios e equidistante dos mesmos, utilizando a Lei de Ampère. Dois fios metálicos longos, retos e paralelos estão dispostos no vácuo a uma distância de 2 um do outro. Uma corrente de 10 A flui no sentido da direita para a esquerda no fio superior, enquanto uma corrente de flui no sentido da esquerda para a direita no fio inferior.
Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of for a vector field in cylindrical coordinates.
Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.