Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos duas identidades vetoriais pra verificar:
a) O rotacional do gradiente de uma função escalar é igual a zero: .
b) A divergência do rotacional de um vetor é igual a zero: .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas curvilíneas ortogonais em geral. Isso significa que estamos trabalhando com sistemas de coordenadas que podem não ser cartesianas, mas ainda assim os eixos são perpendiculares entre si. Vamos precisar entender como calcular o gradiente, o rotacional e a divergência nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar em coordenadas curvilíneas ortogonais. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior variação de , e sua expressão geral é:
Aqui, são as coordenadas curvilíneas e são os vetores unitários nas direções dessas coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do gradiente, ou seja, . O rotacional de um vetor em coordenadas curvilíneas ortogonais é dado por:
No caso do gradiente , os componentes são as derivadas parciais de .

Passo 4

Vamos montar o determinante para o rotacional do gradiente:
Calculando esse determinante, percebemos que as derivadas cruzadas se cancelam, resultando em zero. Isso acontece porque a derivada de uma derivada mista é independente da ordem, ou seja:

Passo 5

Portanto, concluímos que:
Isso verifica a primeira identidade que queríamos provar.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda identidade: . Aqui, é um vetor qualquer, .
A divergência de um vetor em coordenadas curvilíneas ortogonais é dada por:

Passo 7

Aplicando isso ao rotacional de , temos:
Novamente, devido às propriedades das derivadas mistas, esse somatório também se anula, resultando em zero.

Passo 8

Assim, temos que:
Isso conclui a verificação da segunda identidade.

Resposta

As identidades nulas foram verificadas com sucesso:
a)
b)

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a) ,
b) .
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