Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of nabla cdot A for a vector field A=ar Ar+aphi Aphi+az Az in cylindrical coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição da divergência, que está na Eq. (2-98), para derivar a expressão de nabla cdot A em coordenadas cilíndricas. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com a divergência de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência nessa coordenadas e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial A mede a taxa com que o campo “espaça” ou “converge” a partir de um ponto. Em outras palavras, ela nos dá uma ideia de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico.

Passo 3

A definição da divergência em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Mas como estamos em coordenadas cilíndricas, precisamos adaptar essa definição para o sistema cilíndrico.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas (r, phi, z), o vetor A é dado por:
A = ar Ar + aphi Aphi + az Az
Onde ar, aphi, e az são os vetores unitários nas direções r, phi e z, respectivamente, e Ar, Aphi, Az são as componentes do vetor A nessas direções.

Passo 5

Para encontrar a divergência nesse sistema, usamos a definição geral da divergência em coordenadas curvilíneas:
nabla cdot A = 1hr hphi hz [ partialpartial r (Ar hphi hz) + partialpartial phi (Aphi hr hz) + partialpartial z (Az hr hphi) ]
Onde hr, hphi, hz são os fatores de escala das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Para coordenadas cilíndricas, os fatores de escala são:
hr = 1, hphi = r, hz = 1
Substituindo esses valores na fórmula da divergência, temos:
nabla cdot A = 1r [ partialpartial r (Ar cdot r) + partial Aphipartial phi + partial Azpartial z ]

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. : Isso expande para
  2. : Simplesmente a derivada parcial de em relação a
  3. : Derivada parcial de em relação a

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da divergência:
nabla cdot A = 1r [ Ar + r partial Arpartial r + partial Aphipartial phi + partial Azpartial z ]
Simplificando:
nabla cdot A = Arr + partial Arpartial r + 1r partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

Resposta

A divergência do campo vetorial A em coordenadas cilíndricas é dada por:
nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

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