Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of
for a vector field
in cylindrical coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição da divergência, que está na Eq. (2-98), para derivar a expressão de
em coordenadas cilíndricas. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com a divergência de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência nessa coordenadas e aplicar a definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
mede a taxa com que o campo “espaça” ou “converge” a partir de um ponto. Em outras palavras, ela nos dá uma ideia de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico.
Passo 3
A definição da divergência em coordenadas cartesianas é:
Mas como estamos em coordenadas cilíndricas, precisamos adaptar essa definição para o sistema cilíndrico.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas
, o vetor
é dado por:
Onde
,
, e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são as componentes do vetor
nessas direções.
Passo 5
Para encontrar a divergência nesse sistema, usamos a definição geral da divergência em coordenadas curvilíneas:
Onde
,
,
são os fatores de escala das coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Para coordenadas cilíndricas, os fatores de escala são:
Substituindo esses valores na fórmula da divergência, temos:
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente:
-
: Isso expande para -
: Simplesmente a derivada parcial de em relação a -
: Derivada parcial de em relação a
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da divergência:
Simplificando:
Resposta
A divergência do campo vetorial
em coordenadas cilíndricas é dada por:
Exercícios relacionados
Find the divergence of the following radial vector fields:
a) ,
b) .
a)
b)
For a scalar function
and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.
Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the
-component of
in spherical coordinates for a vector field
.