Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of for a vector field in cylindrical coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição da divergência, que está na Eq. (2-98), para derivar a expressão de em coordenadas cilíndricas. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com a divergência de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência nessa coordenadas e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede a taxa com que o campo “espaça” ou “converge” a partir de um ponto. Em outras palavras, ela nos dá uma ideia de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico.

Passo 3

A definição da divergência em coordenadas cartesianas é:
Mas como estamos em coordenadas cilíndricas, precisamos adaptar essa definição para o sistema cilíndrico.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas , o vetor é dado por:
Onde , , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente, e , , são as componentes do vetor nessas direções.

Passo 5

Para encontrar a divergência nesse sistema, usamos a definição geral da divergência em coordenadas curvilíneas:
Onde , , são os fatores de escala das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Para coordenadas cilíndricas, os fatores de escala são:
Substituindo esses valores na fórmula da divergência, temos:

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. : Isso expande para
  2. : Simplesmente a derivada parcial de em relação a
  3. : Derivada parcial de em relação a

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da divergência:
Simplificando:

Resposta

A divergência do campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dada por:

Exercícios relacionados

Find the divergence of the following radial vector fields:
a) ,
b) .
For a scalar function and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.
Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the -component of in spherical coordinates for a vector field .