For a scalar function f and a vector function G, prove that
nabla times(f G)=f nabla times G+(nabla f) times G
in Cartesian coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para uma função escalar e uma função vetorial , a expressão é igual a nas coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador rotacional (ou “curl”) e as regras de derivação de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um produto escalar por um vetor. O operador nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z, partial Vxpartial z - partial Vzpartial x, partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) aplicado a significa calcular o rotacional do vetor resultante dessa multiplicação. Nas coordenadas cartesianas, o rotacional de um vetor é dado por:

Passo 3

Vamos calcular f G = (f Gx, f Gy, f Gz) . Seja nabla times (f G) = ( partial (f Gz)partial y - partial (f Gy)partial z, partial (f Gx)partial z - partial (f Gz)partial x, partial (f Gy)partial x - partial (f Gx)partial y ) , então:
Aplicando o rotacional:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada componente:
partial (f Gz)partial y = f partial Gzpartial y + Gz partial fpartial y
partial (f Gy)partial z = f partial Gypartial z + Gy partial fpartial z
partial (f Gx)partial z = f partial Gxpartial z + Gx partial fpartial z
partial (f Gz)partial x = f partial Gzpartial x + Gz partial fpartial x
partial (f Gy)partial x = f partial Gypartial x + Gy partial fpartial x
partial (f Gx)partial y = f partial Gxpartial y + Gx partial fpartial y

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta no rotacional:
nabla times (f G) = ( f partial Gzpartial y + Gz partial fpartial y - f partial Gypartial z - Gy partial fpartial z, f partial Gxpartial z + Gx partial fpartial z - f partial Gzpartial x - Gz partial fpartial x, f partial Gypartial x + Gy partial fpartial x - f partial Gxpartial y - Gx partial fpartial y )

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos que têm = f ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z, partial Gxpartial z - partial Gzpartial x, partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) + ( Gz partial fpartial y - Gy partial fpartial z, Gx partial fpartial z - Gz partial fpartial x, Gy partial fpartial x - Gx partial fpartial y ) e os que têm :

Passo 7

Perceba que o primeiro termo é exatamente nabla times (f G) = f (nabla times G) + (nabla f) times G e o segundo termo é .
Portanto, reunindo tudo:

Resposta

Pronto! Mostramos que em coordenadas cartesianas.

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