For a scalar function
and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para uma função escalar
e uma função vetorial
, a expressão
é igual a
nas coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador rotacional (ou “curl”) e as regras de derivação de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um produto escalar por um vetor. O operador
aplicado a
significa calcular o rotacional do vetor resultante dessa multiplicação. Nas coordenadas cartesianas, o rotacional de um vetor
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular
. Seja
, então:
Aplicando o rotacional:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada componente:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta no rotacional:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos que têm
e os que têm
:
Passo 7
Perceba que o primeiro termo é exatamente
e o segundo termo é
.
Portanto, reunindo tudo:
Resposta
Pronto! Mostramos que
em coordenadas cartesianas.