For a scalar function and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para uma função escalar e uma função vetorial , a expressão é igual a nas coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador rotacional (ou “curl”) e as regras de derivação de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um produto escalar por um vetor. O operador aplicado a significa calcular o rotacional do vetor resultante dessa multiplicação. Nas coordenadas cartesianas, o rotacional de um vetor é dado por:

Passo 3

Vamos calcular . Seja , então:
Aplicando o rotacional:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada componente:

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta no rotacional:

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos que têm e os que têm :

Passo 7

Perceba que o primeiro termo é exatamente e o segundo termo é .
Portanto, reunindo tudo:

Resposta

Pronto! Mostramos que em coordenadas cartesianas.

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Determine a magnitude do campo magnético resultante (B) em um ponto situado no plano que contém os fios e equidistante dos mesmos, utilizando a Lei de Ampère. Dois fios metálicos longos, retos e paralelos estão dispostos no vácuo a uma distância de 2 um do outro. Uma corrente de 10 A flui no sentido da direita para a esquerda no fio superior, enquanto uma corrente de flui no sentido da esquerda para a direita no fio inferior.
For vector function , verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by , and .
Find the divergence of the following radial vector fields:
a) ,
b) .
Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of for a vector field in cylindrical coordinates.