For a scalar function
and a vector function G, prove that
in Cartesian coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para uma função escalar
e uma função vetorial
, a expressão
é igual a
nas coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador rotacional (ou “curl”) e as regras de derivação de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um produto escalar por um vetor. O operador
aplicado a
significa calcular o rotacional do vetor resultante dessa multiplicação. Nas coordenadas cartesianas, o rotacional de um vetor
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular
. Seja
, então:
Aplicando o rotacional:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada componente:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta no rotacional:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos que têm
e os que têm
:
Passo 7
Perceba que o primeiro termo é exatamente
e o segundo termo é
.
Portanto, reunindo tudo:
Resposta
Pronto! Mostramos que
em coordenadas cartesianas.
Exercícios relacionados
Determine a magnitude do campo magnético resultante (B) em um ponto
situado no plano que contém os fios e equidistante dos mesmos, utilizando a Lei de Ampère. Dois fios metálicos longos, retos e paralelos estão dispostos no vácuo a uma distância de 2
um do outro. Uma corrente de 10 A flui no sentido da direita para a esquerda no fio superior, enquanto uma corrente de
flui no sentido da esquerda para a direita no fio inferior.
For vector function
, verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by
, and
.
Find the divergence of the following radial vector fields:
a) ,
b) .
a)
b)
Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of
for a vector field
in cylindrical coordinates.