Find the energy of a uniformly charged spherical shell of total charge q and radius R, using
W=12 integral sigma V d a and W=epsilon02 integral all space E^2 d tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a energia de uma casca esférica uniformemente carregada com carga total q e raio R. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente as fórmulas para energia armazenada em um sistema de cargas. Para resolver, vamos precisar entender a densidade superficial de carga ( sigma), o potencial elétrico ( V) e o campo elétrico ( E).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade superficial de carga ( sigma). Como a carga q está distribuída uniformemente sobre uma superfície esférica de raio R, a densidade superficial é dada por:
sigma = q4pi R^2
Isso significa que a carga está igualmente espalhada por toda a área da casca esférica.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico ( V) na superfície da casca. Para uma esfera carregada, o potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual no centro. O potencial na superfície é:
V = 14pivarepsilon0 cdot qR
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Com sigma e V determinados, podemos usar a primeira fórmula fornecida para a energia ( W):
W = 12 integral sigma V , da
Como sigma e V são constantes na superfície da esfera, a integral simplifica para:
W = 12 cdot sigma cdot V cdot 4pi R^2

Passo 5

Substituindo sigma e V nas equações:
W = 12 cdot (q4pi R^2) cdot (14pivarepsilon0 cdot qR) cdot 4pi R^2

Passo 6

Simplificando os termos:
  1. Os 4pi R^2 do sigma e o 4pi R^2 do da se cancelam.
  2. Multiplicando os restantes:
W = 12 cdot q4pi R^2 cdot q4pivarepsilon0 R cdot 4pi R^2 = q^28pivarepsilon0 R

Resposta

A energia da casca esférica carregada é dada por:
W = q^28pivarepsilon0 R

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