Find the energy of a uniformly charged spherical shell of total charge
and radius
, using
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a energia de uma casca esférica uniformemente carregada com carga total
e raio
. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente as fórmulas para energia armazenada em um sistema de cargas. Para resolver, vamos precisar entender a densidade superficial de carga (
), o potencial elétrico (
) e o campo elétrico (
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade superficial de carga (
). Como a carga
está distribuída uniformemente sobre uma superfície esférica de raio
, a densidade superficial é dada por:
Isso significa que a carga está igualmente espalhada por toda a área da casca esférica.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial elétrico (
) na superfície da casca. Para uma esfera carregada, o potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual no centro. O potencial na superfície é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Com
e
determinados, podemos usar a primeira fórmula fornecida para a energia (
):
Como
e
são constantes na superfície da esfera, a integral simplifica para:
Passo 5
Substituindo
e
nas equações:
Passo 6
Simplificando os termos:
- Os
do e o do se cancelam. - Multiplicando os restantes:
Resposta
A energia da casca esférica carregada é dada por:
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e
)
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Problem 2.41 Find the electric field at a height
above the center of a square sheet (side
) carrying a uniform surface charge
. Check your result for the limiting cases
and
.
[Answer:
[Answer:
Problem 2.42 If the electric field in some region is given (in spherical coordinates) by the expression
where
and
are constants, what is the charge density? [Answer:
]