Find the energy of a uniformly charged spherical shell of total charge and radius , using

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a energia de uma casca esférica uniformemente carregada com carga total e raio . Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente as fórmulas para energia armazenada em um sistema de cargas. Para resolver, vamos precisar entender a densidade superficial de carga ( ), o potencial elétrico ( ) e o campo elétrico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade superficial de carga ( ). Como a carga está distribuída uniformemente sobre uma superfície esférica de raio , a densidade superficial é dada por:
Isso significa que a carga está igualmente espalhada por toda a área da casca esférica.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico ( ) na superfície da casca. Para uma esfera carregada, o potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual no centro. O potencial na superfície é:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Com e determinados, podemos usar a primeira fórmula fornecida para a energia ( ):
Como e são constantes na superfície da esfera, a integral simplifica para:

Passo 5

Substituindo e nas equações:

Passo 6

Simplificando os termos:
  1. Os do e o do se cancelam.
  2. Multiplicando os restantes:

Resposta

A energia da casca esférica carregada é dada por:

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