A velocidade de uma bicicleta é dada pela equação v(t)=alpha t+beta t^2 onde alpha=2,50 m / s^2 e beta=0,200 m / s^3.
a) Determine a aceleração média da bicicleta para o intervalo de tempo t=0 a t=5,00 s.
b) Calcule a velocidade instantânea para t=0 e t=2,00 s.
c) Faça os gráficos de velocidade e aceleração em função do tempo para o movimento da bicicleta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de uma bicicleta. A gente tem a equação da velocidade v(t) = alpha t + beta t^2, onde alpha = 2,50 , m/s^2 e beta = 0,200 , m/s^3. Vamos precisar entender conceitos de aceleração média e velocidade instantânea para resolver as partes a) e b). Na parte c), vamos falar sobre como representar graficamente essas funções.

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar a aceleração média da bicicleta no intervalo de t = 0 a t = 5,00 , s.
A aceleração média ( am) é calculada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
am = v(t2) - v(t1)t2 - t1

Passo 3

Vamos calcular v(0) e v(5) usando a equação da velocidade.
Para t = 0:
v(0) = 2,50 times 0 + 0,200 times 0^2 = 0 , m/s
Para t = 5,00 , s:
v(5) = 2,50 times 5 + 0,200 times 5^2 = 12,5 + 5 = 17,5 , m/s

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da aceleração média:
am = 17,5 - 05 - 0 = 17,55 = 3,50 , m/s^2

Passo 5

Parte b): Precisamos calcular a velocidade instantânea para t = 0 e t = 2,00 , s.
A velocidade instantânea é simplesmente o valor da função v(t) no instante desejado.
Para t = 0:
v(0) = 2,50 times 0 + 0,200 times 0^2 = 0 , m/s
Para t = 2,00 , s:
v(2) = 2,50 times 2 + 0,200 times 2^2 = 5,0 + 0,8 = 5,8 , m/s

Passo 6

Parte c): Vamos fazer os gráficos de velocidade e aceleração em função do tempo.
Para o gráfico de velocidade v(t) = 2,50t + 0,200t^2, é uma parábola que abre para cima, indicando que a velocidade aumenta mais rapidamente com o tempo devido ao termo t^2.
A aceleração é a derivada da velocidade. Derivando v(t):
a(t) = dvdt = 2,50 + 2 times 0,200 t = 2,50 + 0,400t
Isso significa que a aceleração também aumenta com o tempo de forma linear.

Resposta

a) A aceleração média da bicicleta no intervalo de 0 a 5,00 , s é 3,50 , m/s^2.
b) A velocidade instantânea é 0 , m/s em t = 0 e 5,8 , m/s em t = 2,00 , s.
c) Os gráficos mostram uma velocidade crescente de forma quadrática e uma aceleração crescente de forma linear ao longo do tempo.

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