Find the Laplace transform of each of the following functions:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função . Isso faz parte do estudo de transformadas integrais, que nos ajuda a analisar funções no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que vamos multiplicar a função por e integrar de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para :
Nossa tarefa é calcular essa integral.
Passo 4
Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Então, derivando e integrando, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes , obtemos:
O primeiro termo tende a zero quando vai para infinito e também é zero quando . Fica apenas: