Find the Laplace transform of each of the following functions:
f(t) = t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função . Isso faz parte do estudo de transformadas integrais, que nos ajuda a analisar funções no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que vamos multiplicar a função por e integrar de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para :
Nossa tarefa é calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Então, derivando e integrando, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes , obtemos:
O primeiro termo tende a zero quando vai para infinito e também é zero quando . Fica apenas:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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