In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
f(t) = e^(a t) sen(b t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente usando a propriedade da linearidade. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e como aplicar propriedades básicas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo, , em uma função no domínio de frequência, , usando a seguinte integral:
Nesse caso, nossa função é .

Passo 3

Vamos substituir na definição da Transformada de Laplace:
Podemos combinar os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 4

Essa integral é uma forma padrão da Transformada de Laplace para , onde a solução conhecida é:
No nosso caso, e . Aplicando essa fórmula:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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