The Gamma Function. The gamma function is denoted by Gamma(p) and is defined by the integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
The integral converges as x infty for all p. For p<0 it is also improper at x=0, because the integrand becomes unbounded as x 0. However, the integral can be shown to converge at x=0 for p>-1.
If p is a positive integer n, show that
Gamma(n+1)=n!
Since Gamma(p) is also defined when p is not an integer, this function provides an extension of the factorial function to nonintegral values of the independent variable. Note that it is also consistent to define 0!=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando usamos a Função Gama Gamma(p) com p sendo um número inteiro positivo n, ela é igual a n! (fatorial de n). Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral e funções especiais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Função Gama e como ela se relaciona com integrais e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Função Gama. Ela é definida pela integral:
Gamma(p+1) = integral0^infty e^-x x^p dx
Aqui, p é um número real, e geralmente trabalhamos com p > -1 para garantir que a integral converge.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que, quando p = n (um número inteiro positivo), a Função Gama resulta no fatorial de n. Ou seja, queremos provar que:
Gamma(n+1) = n!

Passo 4

Vamos resolver a integral da definição para p = n. Substituindo, temos:
Gamma(n+1) = integral0^infty e^-x x^n dx
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica de integração derivada da regra do produto para derivadas. A f��rmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 6

Vamos escolher u e dv de forma estratégica para facilitar os cálculos. Vamos definir:
  • u = x^n
  • dv = e^-x dx
Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u: du = n x^n-1 dx
  • Integrando dv: v = -e^-x

Passo 7

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^infty e^-x x^n dx = -x^n e^-x |0^infty + n integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Vamos analisar os termos.

Passo 8

Primeiro, vamos olhar para o limite -x^n e^-x |0^infty.
  • Quando x to infty, e^-x decai mais rápido que qualquer potência de x cresce, então x^n e^-x to 0.
  • Quando x = 0, x^n = 0, então o termo também é 0.
Portanto, esse termo todo é 0.

Passo 9

Agora, ficamos com:
integral0^infty e^-x x^n dx = n integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Observamos que a integral resultante é similar à integral original, mas com n-1 em vez de n.

Passo 10

Isso sugere uma relação de recorrência. Podemos generalizar:
Gamma(n+1) = n Gamma(n)
E sabemos que:
Gamma(n) = (n-1)!
Substituindo na relação de recorrência:
Gamma(n+1) = n (n-1)! = n!

Resposta

Assim, mostramos que para todo número inteiro positivo n, a Função Gama satisfaz:
Gamma(n+1) = n!

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