The Gamma Function. The gamma function is denoted by and is defined by the integral
The integral converges as for all . For it is also improper at , because the integrand becomes unbounded as . However, the integral can be shown to converge at for .
If is a positive integer , show that
Since is also defined when is not an integer, this function provides an extension of the factorial function to nonintegral values of the independent variable. Note that it is also consistent to define .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando usamos a Função Gama com sendo um número inteiro positivo , ela é igual a (fatorial de ). Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral e funções especiais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Função Gama e como ela se relaciona com integrais e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Função Gama. Ela é definida pela integral:
Aqui, é um número real, e geralmente trabalhamos com para garantir que a integral converge.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que, quando (um número inteiro positivo), a Função Gama resulta no fatorial de . Ou seja, queremos provar que:
Passo 4
Vamos resolver a integral da definição para . Substituindo, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica de integração derivada da regra do produto para derivadas. A f��rmula da integração por partes é:
Passo 6
Vamos escolher e de forma estratégica para facilitar os cálculos. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e :
Derivando :
Integrando :
Passo 7
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Vamos analisar os termos.
Passo 8
Primeiro, vamos olhar para o limite -x^n e^-x |0^infty.
Quando x to infty, e^-x decai mais rápido que qualquer potência de x cresce, então x^n e^-x to 0.
Quando x = 0, x^n = 0, então o termo também é 0.
Portanto, esse termo todo é 0.
Passo 9
Agora, ficamos com:
integral0^infty e^-x x^n dx = n integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Observamos que a integral resultante é similar à integral original, mas com n-1 em vez de n.
Passo 10
Isso sugere uma relação de recorrência. Podemos generalizar:
Gamma(n+1) = n Gamma(n)
E sabemos que:
Gamma(n) = (n-1)!
Substituindo na relação de recorrência:
Gamma(n+1) = n (n-1)! = n!
Resposta
Assim, mostramos que para todo número inteiro positivo n, a Função Gama satisfaz: