In each of Problems 6 through 7, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
f(t) = cosh(b t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que facilita o cálculo ao dividir a função em partes mais simples. Vamos precisar lembrar das definições da transformada de Laplace e da função cosseno hiperbólico.

Passo 2

Vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Essa operação transforma uma função do tempo para uma função da variável complexa , facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico. O cosseno hiperbólico de é dado por:
Essa expressão mostra que o cosseno hiperbólico é uma combinação de exponenciais, o que vai facilitar a aplicação da transformada de Laplace.

Passo 4

Usando a definição de , podemos reescrever a transformada de Laplace de :
Pela propriedade da linearidade da transformada de Laplace, isso se torna:

Passo 5

Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 6

Substituindo essas transformadas na expressão que obtivemos no Passo 4:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão combinando as frações:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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