In each of Problems 6 through 7, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que facilita o cálculo ao dividir a função em partes mais simples. Vamos precisar lembrar das definições da transformada de Laplace e da função cosseno hiperbólico.
Passo 2
Vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Essa operação transforma uma função do tempo
para uma função da variável complexa
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico. O cosseno hiperbólico de
é dado por:
Essa expressão mostra que o cosseno hiperbólico é uma combinação de exponenciais, o que vai facilitar a aplicação da transformada de Laplace.
Passo 4
Usando a definição de
, podemos reescrever a transformada de Laplace de
:
Pela propriedade da linearidade da transformada de Laplace, isso se torna:
Passo 5
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 6
Substituindo essas transformadas na expressão que obtivemos no Passo 4:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão combinando as frações:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: