In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Aqui, vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, que basicamente diz que a transformada de uma soma de funções é a soma das transformadas dessas funções. Para resolver, vamos precisar saber a fórmula da Transformada de Laplace para funções trigonométricas, especialmente para o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Para uma função
, ela é definida por:
No nosso caso,
, então a transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Há uma fórmula padrão para a Transformada de Laplace do seno, que é:
Mas vamos entender de onde ela vem. Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa é uma integral conhecida. Usando essa fórmula, a gente evita fazer a integral toda de novo.
Passo 4
Então, aplicando a fórmula diretamente, substituímos na expressão:
Isso significa que a Transformada de Laplace da função
é essa fração aí, que envolve
e
.
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: