In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
f(t) = sen(bt)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Aqui, vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, que basicamente diz que a transformada de uma soma de funções é a soma das transformadas dessas funções. Para resolver, vamos precisar saber a fórmula da Transformada de Laplace para funções trigonométricas, especialmente para o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , ela é definida por:
No nosso caso, , então a transformada fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Há uma fórmula padrão para a Transformada de Laplace do seno, que é:
Mas vamos entender de onde ela vem. Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa é uma integral conhecida. Usando essa fórmula, a gente evita fazer a integral toda de novo.

Passo 4

Então, aplicando a fórmula diretamente, substituímos na expressão:
Isso significa que a Transformada de Laplace da função é essa fração aí, que envolve e .

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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