Points P, Q, and R are located at (-1, 4, 8), (2, -1, 3), and -1, 2, 3, respectively. Determine: (a) the distance between P and Q, (b) the distance vector from P to R, © the angle between Q P and Q R, (d) the area of triangle P Q R, (e) the perimeter of triangle P Q R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve geometria no espaço tridimensional. Os pontos dados são , e . Vamos precisar calcular distâncias entre pontos, vetores de posição, ângulos entre vetores, área e perímetro de triângulo. Para isso, utilizaremos fórmulas de distância no espaço, produtos vetoriais e trigonometria básica.

Passo 2

Parte (a): Calcular a distância entre e .
A fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional e é:
Aplicando os valores de e :

Passo 3

Parte (b): Determinar o vetor distância de para .
O vetor distância de para é calculado subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Parte ©: Calcular o ângulo entre os vetores e .
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
O ângulo entre dois vetores é dado por:
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
Então, o ângulo é:

Passo 5

Parte (d): Calcular a área do triângulo .
A área de um triângulo formado por dois vetores e é dada por:
Á
Vamos usar os vetores e calculados anteriormente:
Calculando o produto vetorial :
Calculando a magnitude do produto vetorial:
Portanto, a área do triângulo é:
Áá

Passo 6

Parte (e): Calcular o perímetro do triângulo .
O perímetro é a soma das distâncias entre os pares de pontos:
í
Já calculamos .
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Usando as coordenadas de e :
Agora, somando todas as distâncias:
í

Resposta

(a) A distância entre e é unidades.
(b) O vetor distância de para é .
© O ângulo entre e é aproximadamente .
(d) A área do triângulo é unidades de área.
(e) O perímetro do triângulo é aproximadamente unidades.

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