Points
, and
are located at
, and
, respectively. Determine: (a) the distance between
and
, (b) the distance vector from
to
, © the angle between
and
, (d) the area of triangle
, (e) the perimeter of triangle
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve geometria no espaço tridimensional. Os pontos dados são
,
e
. Vamos precisar calcular distâncias entre pontos, vetores de posição, ângulos entre vetores, área e perímetro de triângulo. Para isso, utilizaremos fórmulas de distância no espaço, produtos vetoriais e trigonometria básica.
Passo 2
Parte (a): Calcular a distância entre
e
.
A fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional
e
é:
Aplicando os valores de
e
:
Passo 3
Parte (b): Determinar o vetor distância de
para
.
O vetor distância de
para
é calculado subtraindo as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 4
Parte ©: Calcular o ângulo entre os vetores
e
.
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
:
O ângulo
entre dois vetores é dado por:
Onde
é o produto escalar e
e
são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
Então, o ângulo
é:
Passo 5
Parte (d): Calcular a área do triângulo
.
A área de um triângulo formado por dois vetores
e
é dada por:
Vamos usar os vetores
e
calculados anteriormente:
Calculando o produto vetorial
:
Calculando a magnitude do produto vetorial:
Portanto, a área do triângulo é:
Passo 6
Parte (e): Calcular o perímetro do triângulo
.
O perímetro é a soma das distâncias entre os pares de pontos:
Já calculamos
.
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Usando as coordenadas de
e
:
Agora, somando todas as distâncias:
Resposta
(a) A distância entre
e
é
unidades.
(b) O vetor distância de
para
é
.
© O ângulo entre
e
é aproximadamente
.
(d) A área do triângulo
é
unidades de área.
(e) O perímetro do triângulo
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Simplify the following expressions:
(a)
(b) $\mathbf{A} \times[\mathbf{A} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]
(a)
(b) $\mathbf{A} \times[\mathbf{A} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]
If
and
, find: (a) the scalar projections of
on
, (b) the vector projection of
on
, © the unit vector perpendicular to the plane containing
and
.
Given
, determine:
(a) The magnitude of at point
(b) The distance vector from to
if
is 5.6 units away from
and in the same direction as
at
© The position vector of
(a) The magnitude of
(b) The distance vector from
© The position vector of
Find the triple scalar product of
, and
given that
and