Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da função
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra que nos ajuda a calcular limites de funções que resultam em formas indeterminadas, como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso transformando a multiplicação em uma divisão:
Agora, temos a forma
quando
tende ao infinito, que é uma das condições ideais para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma
onde ambos
e
tendem ao infinito ou a zero, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Então, vamos derivar o numerador
e o denominador
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
(Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.)
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Percebemos que ainda temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
Passo 6
Agora, analisamos o limite
. Conforme
tende ao infinito, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador constante
. Isso significa que o limite tende a zero.