Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da função
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra que nos ajuda a calcular limites de funções que resultam em formas indeterminadas, como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso transformando a multiplicação em uma divisão:
Agora, temos a forma
quando
tende ao infinito, que é uma das condições ideais para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma
onde ambos
e
tendem ao infinito ou a zero, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Então, vamos derivar o numerador
e o denominador
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
(Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.)
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Percebemos que ainda temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
Passo 6
Agora, analisamos o limite
. Conforme
tende ao infinito, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador constante
. Isso significa que o limite tende a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Seja
uma função contínua e seja
uma função crescente.
(a) Prove que existe um tal que
(a) Prove que existe um
Seja
uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo
e
, então
para todo
.
(b) Se