Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra que nos ajuda a calcular limites de funções que resultam em formas indeterminadas, como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso transformando a multiplicação em uma divisão:
Agora, temos a forma quando tende ao infinito, que é uma das condições ideais para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma onde ambos e tendem ao infinito ou a zero, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
(Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Percebemos que ainda temos uma forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital mais uma vez:

Passo 6

Agora, analisamos o limite . Conforme tende ao infinito, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante . Isso significa que o limite tende a zero.

Resposta

Exercícios relacionados

(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
Seja uma função contínua e seja uma função crescente.
(a) Prove que existe um tal que
Seja uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo e , então para todo .