Seja uma função contínua e seja uma função crescente.
(a) Prove que existe um tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que existe um ponto no intervalo onde a integral de de a é igual a vezes a integral de de a mais vezes a integral de de a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, principalmente propriedades de integrais e funções contínuas. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário para integrais e as propriedades de funções crescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a integral que queremos dividir:
Como é crescente, isso significa que para qualquer , temos . Além disso, é contínua no intervalo , o que garante que as integrais que vamos calcular existem e são bem definidas.

Passo 3

Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas expressões que queremos igualar. Seja definida por:
Nosso objetivo é encontrar tal que:

Passo 4

Observemos que quando , temos:
E quando :
Como é crescente, .

Passo 5

Vamos analisar a função . Ela é uma combinação linear das integrais de e como e são constantes, é contínua em .
Além disso, observamos que:
Isso ocorre porque é o menor valor de no intervalo e o maior.

Passo 6

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e a integral está entre e , existe pelo menos um em tal que:
Isso prova que existe um ponto que satisfaz a igualdade proposta.

Resposta

Existe um ponto no intervalo que satisfaz a igualdade

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Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l45.
(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
Seja uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo e , então para todo .
Seja definida por á Prove que .