Seja g:[a, b] R uma função contínua e seja f:[a, b] R uma função crescente.
(a) Prove que existe um c in[a, b] tal que
integrala^b f(x) g(x) d x=f(a) integrala^c g(x) d x+f(b) integralc^b g(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que existe um ponto no intervalo onde a integral de de a é igual a vezes a integral de de a mais vezes a integral de de a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, principalmente propriedades de integrais e funções contínuas. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário para integrais e as propriedades de funções crescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a integral que queremos dividir:
integrala^b f(x) g(x) , dx
Como é crescente, isso significa que para qualquer , temos . Além disso, é contínua no intervalo , o que garante que as integrais que vamos calcular existem e são bem definidas.

Passo 3

Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas expressões que queremos igualar. Seja F(c) = f(a) integrala^c g(x) , dx + f(b) integralc^b g(x) , dx definida por:
integrala^b f(x) g(x) , dx = F(c)
Nosso objetivo é encontrar tal que:

Passo 4

Observemos que quando F(a) = f(a) cdot 0 + f(b) integrala^b g(x) , dx = f(b) integrala^b g(x) , dx , temos:
F(b) = f(a) integrala^b g(x) , dx + f(b) cdot 0 = f(a) integrala^b g(x) , dx
E quando :
Como é crescente, .

Passo 5

Vamos analisar a função F(a) <= integrala^b f(x) g(x) , dx <= F(b) . Ela é uma combinação linear das integrais de e como e são constantes, é contínua em .
Além disso, observamos que:
Isso ocorre porque é o menor valor de no intervalo e o maior.

Passo 6

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como integrala^b f(x) g(x) , dx = F(c) é contínua e a integral está entre e , existe pelo menos um em tal que:
Isso prova que existe um ponto que satisfaz a igualdade proposta.

Resposta

Existe um ponto integrala^b f(x) g(x) , dx = f(a) integrala^c g(x) , dx + f(b) integralc^b g(x) , dx no intervalo que satisfaz a igualdade

Exercícios relacionados