Seja
uma função contínua e seja
uma função crescente.
(a) Prove que existe um
tal que
(a) Prove que existe um
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que existe um ponto
no intervalo
onde a integral de
de
a
é igual a
vezes a integral de
de
a
mais
vezes a integral de
de
a
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, principalmente propriedades de integrais e funções contínuas. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário para integrais e as propriedades de funções crescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a integral que queremos dividir:
Como
é crescente, isso significa que para qualquer
, temos
. Além disso,
é contínua no intervalo
, o que garante que as integrais que vamos calcular existem e são bem definidas.
Passo 3
Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas expressões que queremos igualar. Seja
definida por:
Nosso objetivo é encontrar
tal que:
Passo 4
Observemos que quando
, temos:
E quando
:
Como
é crescente,
.
Passo 5
Vamos analisar a função
. Ela é uma combinação linear das integrais de
e como
e
são constantes,
é contínua em
.
Além disso, observamos que:
Isso ocorre porque
é o menor valor de
no intervalo e
o maior.
Passo 6
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e a integral
está entre
e
, existe pelo menos um
em
tal que:
Isso prova que existe um ponto
que satisfaz a igualdade proposta.
Resposta
Existe um ponto
no intervalo
que satisfaz a igualdade