Um fio de arame de comprimento é dobrado ao meio, formando um ângulo de , e é suspenso pelo vértice , oscilando como um pêndulo.
calcule o centro de massa do pêndulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio de arame que tem comprimento total de e é dobrado ao meio formando um ângulo de . Esse fio está pendurado pelo ponto e oscila como um pêndulo. Nosso objetivo aqui é calcular o centro de massa desse pêndulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e física relacionados ao centro de massa e distribuição de massa em sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o fio. Como ele é dobrado ao meio formando um ângulo de , temos duas partes iguais de comprimento cada, que formam esse ângulo no ponto de dobra . O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada.

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos determinar a posição média das duas metades do fio. Como o fio tem distribuição de massa uniforme, o centro de massa de cada metade estará no meio de cada segmento.

Passo 4

Vamos desenhar um triângulo formado pelas duas metades do fio e a linha vertical que passa por . O ângulo no vértice é , e cada metade do fio faz um ângulo de com a vertical.

Passo 5

Agora, calculamos a distância de cada centro de massa individual em relação a . Como cada metade do fio tem comprimento , o centro de massa de cada uma estará a de ao longo do fio. Mas queremos a altura vertical, então usamos o cosseno do ângulo:
Sabemos que , então:

Passo 6

Como temos duas metades iguais, o centro de massa total estará diretamente abaixo de na vertical, já que as distribuições são simétricas. Portanto, a altura total do centro de massa será a mesma que a de cada metade.

Resposta

O centro de massa do pêndulo está a uma altura de abaixo do ponto de suspensão .

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