A função de onda y(x, t) para determinada onda estacionária em uma corda fixa nas duas extremidades é dada por y(x, t)=4,20 cdot sen(0,20 x) cos (300 t), onde y e x estão em centímetros e t em segundos. Se a corda está vibrando em seu quarto harmônico responda.
Quais são o comprimento de onda, a frequência e a amplitude das duas ondas progressivas que que formaram a onda estacionária aqui especificada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias numa corda fixa nas duas extremidades. A gente vai precisar entender como essas ondas são formadas por duas ondas progressivas que se movem em direções opostas. Além disso, vamos usar fórmulas que relacionam a frequência, o comprimento de onda e a velocidade da onda. A corda está vibrando no quarto harmônico, então isso também vai influenciar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas progressivas de mesma amplitude, frequência e comprimento de onda, mas que se movem em direções opostas. A função dada é:
y(x, t) = 4,20 cdot sin(0,20 x) cos(300 t)
Aqui, e estão em centímetros, e está em segundos.

Passo 3

A amplitude da onda estacionária é o valor que está na frente da função seno, ou seja, 4,20 cm. Como são duas ondas progressivas que se somam, cada uma delas tem metade dessa amplitude. Então, a amplitude das ondas progressivas é:
A = 4,202 = 2,10 cm

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda. A função seno tem o argumento 2pilambda = 0,20 . Geralmente, a função seno é da forma lambda = 2pi0,20 , onde lambda = 6,28320,20 é o comprimento de onda. Comparando com nossa função:
lambda = 31,416 cm
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos determinar a frequência da onda. A função cosseno tem o argumento 2pi f = 300 , que corresponde à forma geral f = 3002pi , onde f approx 3006,2832 é a frequência. Igualando os argumentos:
f approx 47,75 Hz

Passo 6

Por último, já identificamos a amplitude das ondas progressivas no Passo 3 como 2,10 cm.

Resposta

O comprimento de onda é aproximadamente 31,42 cm, a frequência é cerca de 47,75 Hz e a amplitude de cada uma das duas ondas progressivas é 2,10 cm.

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