A função de onda para determinada onda estacionária em uma corda fixa nas duas extremidades é dada por , onde y e estão em centímetros e em segundos. Se a corda está vibrando em seu quarto harmônico responda.
Quais são o comprimento de onda, a frequência e a amplitude das duas ondas progressivas que que formaram a onda estacionária aqui especificada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias numa corda fixa nas duas extremidades. A gente vai precisar entender como essas ondas são formadas por duas ondas progressivas que se movem em direções opostas. Além disso, vamos usar fórmulas que relacionam a frequência, o comprimento de onda e a velocidade da onda. A corda está vibrando no quarto harmônico, então isso também vai influenciar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas progressivas de mesma amplitude, frequência e comprimento de onda, mas que se movem em direções opostas. A função dada é:
Aqui, e estão em centímetros, e está em segundos.

Passo 3

A amplitude da onda estacionária é o valor que está na frente da função seno, ou seja, 4,20 cm. Como são duas ondas progressivas que se somam, cada uma delas tem metade dessa amplitude. Então, a amplitude das ondas progressivas é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda. A função seno tem o argumento . Geralmente, a função seno é da forma , onde é o comprimento de onda. Comparando com nossa função:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos determinar a frequência da onda. A função cosseno tem o argumento , que corresponde à forma geral , onde é a frequência. Igualando os argumentos:

Passo 6

Por último, já identificamos a amplitude das ondas progressivas no Passo 3 como 2,10 cm.

Resposta

O comprimento de onda é aproximadamente 31,42 cm, a frequência é cerca de 47,75 Hz e a amplitude de cada uma das duas ondas progressivas é 2,10 cm.

Exercícios relacionados

Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e .
Em a sua posição é e a sua velocidade . Nestas condições:
Faça os gráficos de versus versus versus detalhando os valores nos eixos considerados.
Um fio de arame de comprimento é dobrado ao meio, formando um ângulo de , e é suspenso pelo vértice , oscilando como um pêndulo.
calcule o centro de massa do pêndulo.
Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e .
Em a sua posição é e a sua velocidade . Nestas condições:
Escreva a equação horária obtendo as quantidades , e .
Um fio de arame de comprimento é dobrado ao meio, formando um ângulo de , e é suspenso pelo vértice , oscilando como um pêndulo.
calcule o momento de inércia do pêndulo.