Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e T=3,14 s.
Em t=0 s a sua posição é x=0,5 cm e a sua velocidade v=-1 cm / s. Nestas condições:
Faça os gráficos de x(t) versus t, v(t) versus t, a(t) versus t detalhando os valores nos eixos considerados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola que faz Movimento Harmônico Simples (MHS). A massa é de 1 kg e o período é de 3,14 segundos. No tempo , a posição é de 0,5 cm e a velocidade é de -1 cm/s. Nosso objetivo aqui é desenhar os gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo, detalhando os valores nos eixos. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS e entender como as condições iniciais influenciam as equações de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a frequência angular omega = 2piT . Sabemos que o período omega = 2pi3,14 approx 2 , rad/s está relacionado com pela fórmula:
Substituindo s:

Passo 3

No MHS, a posição x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) pode ser descrita pela função:
Aqui, e são constantes que determinam a amplitude e a fase do movimento. Vamos determinar esses valores usando as condições iniciais.

Passo 4

No tempo x(0) = A cos(0) + B sin(0) = A times 1 + B times 0 = A :
A = 0,5 , cm
Sabemos que v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) cm, então:
v(0) = -A omega sin(0) + B omega cos(0) = -0,5 times 2 times 0 + B times 2 times 1 = 2B
Agora, vamos derivar 2B = -1 implies B = -0,5 , cm para encontrar a velocidade :
No tempo :
Sabemos que cm/s:

Passo 5

Agora que temos x(t) = 0,5 cos(2t) - 0,5 sin(2t) cm e cm, podemos escrever a expressão completa para :

Passo 6

Vamos derivar novamente para achar a aceleração a(t) = dvdt = d^2xdt^2 = -A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t) :
a(t) = -0,5 times 4 cos(2t) - (-0,5) times 4 sin(2t) = -2 cos(2t) + 2 sin(2t)
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora que temos as equações de , e , vamos descrever os gráficos:
  • Gráfico de vs : Será uma combinação de uma função cosseno e seno, resultando em uma onda oscilatória com amplitude máxima de aproximadamente 0,71 cm (usando ) e período de 3,14 s.
  • Gráfico de vs : Derivada de , também uma onda oscilatória, mas deslocada em fase em relação a . A amplitude será cm/s.
  • Gráfico de vs : Derivada de , outra onda oscilatória com amplitude cm/s².
Os eixos de tempo podem variar de 0 a, por exemplo, 12 s para mostrar vários períodos completos, e os eixos das funções variam conforme as amplitudes mencionadas.

Resposta

As funções que descrevem o movimento são:
x(t) = 0,5 cos(2t) - 0,5 sin(2t) , cm
v(t) = -1 sin(2t) - 1 cos(2t) , cm/s
a(t) = -2 cos(2t) + 2 sin(2t) , cm/s² ²
Os gráficos de , e versus serão ondas oscilatórias com amplitudes de aproximadamente 0,71 cm, 1,41 cm/s e 2,83 cm/s², respectivamente, e um período de 3,14 segundos cada.

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