Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e .
Em a sua posição é e a sua velocidade . Nestas condições:
Faça os gráficos de versus versus versus detalhando os valores nos eixos considerados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola que faz Movimento Harmônico Simples (MHS). A massa é de 1 kg e o período é de 3,14 segundos. No tempo , a posição é de 0,5 cm e a velocidade é de -1 cm/s. Nosso objetivo aqui é desenhar os gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo, detalhando os valores nos eixos. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS e entender como as condições iniciais influenciam as equações de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a frequência angular . Sabemos que o período está relacionado com pela fórmula:
Substituindo s:

Passo 3

No MHS, a posição pode ser descrita pela função:
Aqui, e são constantes que determinam a amplitude e a fase do movimento. Vamos determinar esses valores usando as condições iniciais.

Passo 4

No tempo :
Sabemos que cm, então:
Agora, vamos derivar para encontrar a velocidade :
No tempo :
Sabemos que cm/s:

Passo 5

Agora que temos cm e cm, podemos escrever a expressão completa para :

Passo 6

Vamos derivar novamente para achar a aceleração :
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora que temos as equações de , e , vamos descrever os gráficos:
  • Gráfico de vs : Será uma combinação de uma função cosseno e seno, resultando em uma onda oscilatória com amplitude máxima de aproximadamente 0,71 cm (usando ) e período de 3,14 s.
  • Gráfico de vs : Derivada de , também uma onda oscilatória, mas deslocada em fase em relação a . A amplitude será cm/s.
  • Gráfico de vs : Derivada de , outra onda oscilatória com amplitude cm/s².
Os eixos de tempo podem variar de 0 a, por exemplo, 12 s para mostrar vários períodos completos, e os eixos das funções variam conforme as amplitudes mencionadas.

Resposta

As funções que descrevem o movimento são:
²
Os gráficos de , e versus serão ondas oscilatórias com amplitudes de aproximadamente 0,71 cm, 1,41 cm/s e 2,83 cm/s², respectivamente, e um período de 3,14 segundos cada.

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