Um fio de arame fino e homogêneo é dobrado na forma de uma semi-circunferência de raio R . Calcule a posição do centro de massa desse fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fio de arame fininho e uniforme que foi dobrado na forma de uma semi-circunferência com raio . A gente precisa descobrir onde fica o centro de massa desse fio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo que lidam com a distribuição de massa em objetos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para objetos com simetria, como essa semi-circunferência, a gente consegue simplificar os cálculos.
Passo 3
Vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar. Digamos que o centro da circunferência completa esteja na origem () e o fio esteja posicionado no semicírculo superior. Assim, a curva vai de a em coordenadas polares.
Passo 4
Como o fio é homogêneo, a densidade linear (massa por unidade de comprimento) é constante. A gente pode expressar as coordenadas dos pontos no fio usando as equações paramétricas:
onde varia de a .
Passo 5
O centro de massa é dado por:
onde é o comprimento total do fio e é um elemento infinitesimal de comprimento.
Passo 6
Para calcular , que é o comprimento da semi-circunferência, usamos:
pois o comprimento da circunferência completa é .
Passo 7
Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então, substituindo nas integrais:
Passo 8
Simplificando as integrais:
Passo 9
Calculando as integrais:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O centro de massa do fio está localizado no ponto .