Um fio de arame fino e homogêneo é dobrado na forma de uma semi-circunferência de raio R . Calcule a posição do centro de massa desse fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fio de arame fininho e uniforme que foi dobrado na forma de uma semi-circunferência com raio . A gente precisa descobrir onde fica o centro de massa desse fio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo que lidam com a distribuição de massa em objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para objetos com simetria, como essa semi-circunferência, a gente consegue simplificar os cálculos.

Passo 3

Vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar. Digamos que o centro da circunferência completa esteja na origem ( ) e o fio esteja posicionado no semicírculo superior. Assim, a curva vai de a em coordenadas polares.

Passo 4

Como o fio é homogêneo, a densidade linear (massa por unidade de comprimento) é constante. A gente pode expressar as coordenadas dos pontos no fio usando as equações paramétricas:
onde varia de a .

Passo 5

O centro de massa é dado por:
onde é o comprimento total do fio e é um elemento infinitesimal de comprimento.

Passo 6

Para calcular , que é o comprimento da semi-circunferência, usamos:
pois o comprimento da circunferência completa é .

Passo 7

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então, substituindo nas integrais:

Passo 8

Simplificando as integrais:

Passo 9

Calculando as integrais:

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O centro de massa do fio está localizado no ponto .

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