Um foguete com massa inicial
, precisa usar seus motores para planar sobre o solo na Terra. a) Se ele consegue queimar no máximo uma percentagem dado por
, por quanto tempo ele conseguirá planar? b) Sendo a velocidade de exaustão igual a
e
, qual o tempo que ele consegue planar? Considere a velocidade de exaustão sempre como constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um foguete que precisa planar usando seus motores na Terra. A gente vai trabalhar com conceitos de dinâmica de foguetes e taxa de queima de combustível. Para resolver, vamos precisar entender como a queima de combustível afeta o tempo de planar do foguete, usando a velocidade de exaustão dos motores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o foguete consegue queimar uma porcentagem do seu peso inicial, representada por
, onde
. Isso quer dizer que a massa de combustível que o foguete pode queimar é
vezes a massa inicial
.
Passo 3
Agora, para descobrir por quanto tempo o foguete consegue planar, precisamos relacionar a velocidade de exaustão dos motores (
) com a taxa de queima de massa. A velocidade de exaustão é a velocidade com que o combustível é expelido pelos motores.
A relação entre essas variáveis é dada pela fórmula:
onde:
-
é o tempo de planar, -
é a fração da massa inicial que pode ser queimada, -
é a velocidade de exaustão, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 4
Vamos derivar essa fórmula passo a passo. A força de empuxo (
) necessária para planar é igual ao peso do foguete, que é
.
Sabemos que o empuxo também pode ser expresso como:
onde
é a taxa de queima de massa (
).
Igualando as duas expressões para
:
Isolando
:
Agora, o tempo total de queima (
) é a massa total que pode ser queimada (
) dividida pela taxa de queima:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
Pronto! Agora temos a fórmula para calcular o tempo de planar do foguete em termos de
e
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) do exercício, onde nos dão valores específicos:
- Velocidade de exaustão (
) = 3000 m/s -
Vamos usar a fórmula que encontramos:
Resposta
O foguete consegue planar por aproximadamente 30,6 segundos.