Um foguete com massa inicial m0, precisa usar seus motores para planar sobre o solo na Terra. a) Se ele consegue queimar no máximo uma percentagem dado por lambda m0,(0, por quanto tempo ele conseguirá planar? b) Sendo a velocidade de exaustão igual a 3000 m / s e lambda=0.1, qual o tempo que ele consegue planar? Considere a velocidade de exaustão sempre como constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um foguete que precisa planar usando seus motores na Terra. A gente vai trabalhar com conceitos de dinâmica de foguetes e taxa de queima de combustível. Para resolver, vamos precisar entender como a queima de combustível afeta o tempo de planar do foguete, usando a velocidade de exaustão dos motores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o foguete consegue queimar uma porcentagem do seu peso inicial, representada por , onde . Isso quer dizer que a massa de combustível que o foguete pode queimar é vezes a massa inicial .

Passo 3

Agora, para descobrir por quanto tempo o foguete consegue planar, precisamos relacionar a velocidade de exaustão dos motores ( t = lambda veg ) com a taxa de queima de massa. A velocidade de exaustão é a velocidade com que o combustível é expelido pelos motores.
A relação entre essas variáveis é dada pela fórmula:
onde:
  • é o tempo de planar,
  • é a fração da massa inicial que pode ser queimada,
  • é a velocidade de exaustão,
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

Vamos derivar essa fórmula passo a passo. A força de empuxo ( F = m g ) necessária para planar é igual ao peso do foguete, que é F = dotm ve .
dotm ve = m g
Sabemos que o empuxo também pode ser expresso como:
dotm = m gve
onde t = lambda m0dotm é a taxa de queima de massa ( t = lambda m0m gve = lambda veg ).
Igualando as duas expressões para :
Isolando :
Agora, o tempo total de queima ( ) é a massa total que pode ser queimada ( ) dividida pela taxa de queima:
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Pronto! Agora temos a fórmula para calcular o tempo de planar do foguete em termos de e .

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) do exercício, onde nos dão valores específicos:
  • Velocidade de exaustão ( t = lambda veg = 0,1 times 30009,8 approx 30,6 , segundos ) = 3000 m/s
Vamos usar a fórmula que encontramos:

Resposta

O foguete consegue planar por aproximadamente 30,6 segundos.

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