Quando foi adicionado um calor
a um gás ideal, o volume variou de
para de
enquanto a pressão do gás permaneceu constante em
. Nessas condições, o calor específico molar a volume constante é dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, galera, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um gás ideal que recebe um calor $ Q $ e, com isso, o volume dele passa de $ V_{0} $ para $ 2V_{0} $, enquanto a pressão $ P_{0} $ permanece constante. O objetivo é encontrar o calor específico molar a volume constante, que é uma medida de quanto calor é necessário para aumentar a temperatura de um mol de gás sem mudar o volume. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que diz que a variação da energia interna $ \Delta U $ é igual ao calor adicionado $ Q $ menos o trabalho realizado $ W $:
Como a pressão é constante, o trabalho realizado pelo gás é:
Passo 3
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação da temperatura e é dada por:
Onde $ C_{V} $ é o calor específico a volume constante e $ n $ é o número de mols. Vamos supor que temos 1 mol para simplificar.
Passo 4
Substituindo $ \Delta U $ na primeira equação:
Como $ n = 1 $:
Passo 5
Agora, usando a equação dos gases ideais $ P V = n R T $, podemos relacionar a variação de volume com a variação de temperatura. Com a pressão constante:
Subtraindo as duas equações:
Então:
Passo 6
Substituindo $ \Delta T $ na equação do passo 4:
Isolando $ C_{V} $:
Resposta
A alternativa correta é a a) $ R\left(\frac{Q}{P_{0} V_{0}}-1\right) $.