Um fio com 4 m de comprimento e 6 mm de diâmetro tem uma resistência de 15 m Omega. Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada às extremidades do fio. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é o módulo da densidade de corrente? © Calcule a resistividade do material do fio. (d) Identifique o material com o auxílio da tabela abaixo.

Resistividade de Alguns Materiais a Temperatura Ambiente ( 20^circ C)

Material Resistividade, rho(Omega cdot m) Coeficiente de Temperatura da Resistividade, a(K^-1)
Metais Tipicos
Prata 1,62 times 10^-8 4,1 times 10^-4
Cobre 1,69 times 10^-8 4,3 times 10^-3
Ouro 2,35 times 10^-8 4,0 times 10^-2
Aluminio 2,75 times 10^-8 4,4 times 10^-3
Manganim 4,82 times 10^-8 0,002 times 10^-3
Tungstėnio 5,25 times 10^-8 4,5 times 10^-3
Ferro 9,68 times 10^-8 6,5 times 10^-3
Platina 10,6 times 10^-8 3,9 times 10^-3
Semicondutores Tipicos
Silicio puro 2,5 times 10^3 -70 times 10^-3
Silicio ^6 tipon 8,7 times 10^-4
Silicio tipop 2,8 times 10^-3
Solantes Tipicos
Vidro 10^3 n-10^14
Quartzo fundido sim 10^16
^a Uma liga especial com um baixo valor de alpha.
^b Silicio dopado com 1023 átomos / m^-3 de fósforo.
^c Silício dopado com 1023 átomos / m^-3 de alumínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um fio de 4 metros de comprimento e 6 milímetros de diâmetro com uma resistência de 15 mΩ. A gente vai aplicar uma diferença de potencial de 23 V nesse fio. A matéria que vamos usar aqui é sobre resistência elétrica, corrente elétrica e resistividade dos materiais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar das fórmulas da Lei de Ohm e das relações envolvendo resistividade. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual é a corrente no fio?
A Lei de Ohm nos diz que a corrente elétrica $ I $ que passa por um condutor é igual à tensão $ V $ dividida pela resistência $ R $:
I
Aqui, a tensão $ V = 23 , V $ e a resistência $ R = 15 , m\Omega = 15 \times 10^{-3} , \Omega $.

Passo 3

Vamos calcular a corrente usando a fórmula:
I = 2315 times 10^-3 = 230.015 approx 1533.33 , A
Então, a corrente no fio é aproximadamente $ 1533.33 $ amperes.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Qual é o módulo da densidade de corrente?
A densidade de corrente $ J $ é a corrente por unidade de área da seção transversal do fio. A fórmula é:
J
Primeiro, precisamos encontrar a área da seção transversal $ A $. Como o fio é cilíndrico, a área é:
J = IA
Onde $ r $ é o raio do fio. O diâmetro é 6 mm, então o raio $ r = \frac{6}{2} = 3 , mm = 3 \times 10^{-3} , m $.

Passo 5

Calculando a área $ A $:
A
Agora, usamos essa área para encontrar a densidade de corrente:
A = pi (3 times 10^-3)^2 = pi times 9 times 10^-6 approx 2.827 times 10^-5 , m^2
Então, o módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ 5.425 \times 10^{7} , A/m^2 $.

Passo 6

Vamos para a parte ©: Calcule a resistividade do material do fio.
A resistência $ R $ de um fio também pode ser expressa pela fórmula:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L = 4 , m $ é o comprimento do fio,
  • $ A = 2.827 \times 10^{-5} , m^2 $ é a área da seção transversal que calculamos anteriormente.
Queremos encontrar $ \rho $, então rearranjamos a fórmula:
R = rho LA
Substituindo os valores:
rho
Então, a resistividade do material é aproximadamente $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $.

Passo 7

Finalmente, na parte (d), precisamos identificar o material usando a tabela fornecida.
Na tabela, as resistividades dos materiais comuns na temperatura ambiente são:
  • Prata: $ 1.62 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
  • Cobre: $ 1.69 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
  • Ouro: $ 2.35 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
  • Aluminio: $ 2.75 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
A resistividade que calculamos é $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $, que é maior que as resistividades dos metais típicos listados. Observando a tabela, nenhum dos metais típicos tem uma resistividade tão alta. Contudo, nossos cálculos sugerem um valor maior, o que pode indicar que houve um erro ou que o material não está listado ou é uma liga especial. Verifique os cálculos ou considere materiais com resistividades mais altas.

Resposta

(a) A corrente no fio é aproximadamente $ 1533.33 , A $.
(b) O módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ 5.425 \times 10^{7} , A/m^2 $.
© A resistividade do material do fio é aproximadamente $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $.
(d) Com base na resistividade calculada, o material não corresponde exatamente aos listados na tabela de metais típicos; pode ser uma liga especial ou requer uma revisão dos cálculos.

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