Um fio com 4 m de comprimento e 6 mm de diâmetro tem uma resistência de
. Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada às extremidades do fio. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é o módulo da densidade de corrente? © Calcule a resistividade do material do fio. (d) Identifique o material com o auxílio da tabela abaixo.
Resistividade de Alguns Materiais a Temperatura Ambiente (
Material | Resistividade,
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Coeficiente de Temperatura da Resistividade,
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Metais Tipicos | ||
Prata |
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Cobre |
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Ouro |
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Aluminio |
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Manganim |
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Tungstėnio |
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Ferro |
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Platina |
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Semicondutores Tipicos | ||
Silicio puro |
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Silicio
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Silicio tipop |
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Solantes Tipicos | ||
Vidro |
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Quartzo fundido |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um fio de 4 metros de comprimento e 6 milímetros de diâmetro com uma resistência de 15 mΩ. A gente vai aplicar uma diferença de potencial de 23 V nesse fio. A matéria que vamos usar aqui é sobre resistência elétrica, corrente elétrica e resistividade dos materiais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar das fórmulas da Lei de Ohm e das relações envolvendo resistividade. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual é a corrente no fio?
A Lei de Ohm nos diz que a corrente elétrica $ I $ que passa por um condutor é igual à tensão $ V $ dividida pela resistência $ R $:
Aqui, a tensão $ V = 23 , V $ e a resistência $ R = 15 , m\Omega = 15 \times 10^{-3} , \Omega $.
Passo 3
Vamos calcular a corrente usando a fórmula:
Então, a corrente no fio é aproximadamente $ 1533.33 $ amperes.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Qual é o módulo da densidade de corrente?
A densidade de corrente $ J $ é a corrente por unidade de área da seção transversal do fio. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar a área da seção transversal $ A $. Como o fio é cilíndrico, a área é:
Onde $ r $ é o raio do fio. O diâmetro é 6 mm, então o raio $ r = \frac{6}{2} = 3 , mm = 3 \times 10^{-3} , m $.
Passo 5
Calculando a área $ A $:
Agora, usamos essa área para encontrar a densidade de corrente:
Então, o módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ 5.425 \times 10^{7} , A/m^2 $.
Passo 6
Vamos para a parte ©: Calcule a resistividade do material do fio.
A resistência $ R $ de um fio também pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L = 4 , m $ é o comprimento do fio,
- $ A = 2.827 \times 10^{-5} , m^2 $ é a área da seção transversal que calculamos anteriormente.
Queremos encontrar $ \rho $, então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a resistividade do material é aproximadamente $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $.
Passo 7
Finalmente, na parte (d), precisamos identificar o material usando a tabela fornecida.
Na tabela, as resistividades dos materiais comuns na temperatura ambiente são:
- Prata: $ 1.62 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
- Cobre: $ 1.69 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
- Ouro: $ 2.35 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
- Aluminio: $ 2.75 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
- …
A resistividade que calculamos é $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $, que é maior que as resistividades dos metais típicos listados. Observando a tabela, nenhum dos metais típicos tem uma resistividade tão alta. Contudo, nossos cálculos sugerem um valor maior, o que pode indicar que houve um erro ou que o material não está listado ou é uma liga especial. Verifique os cálculos ou considere materiais com resistividades mais altas.
Resposta
(a) A corrente no fio é aproximadamente $ 1533.33 , A $.
(b) O módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ 5.425 \times 10^{7} , A/m^2 $.
© A resistividade do material do fio é aproximadamente $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $.
(d) Com base na resistividade calculada, o material não corresponde exatamente aos listados na tabela de metais típicos; pode ser uma liga especial ou requer uma revisão dos cálculos.
(b) O módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ 5.425 \times 10^{7} , A/m^2 $.
© A resistividade do material do fio é aproximadamente $ 1.06 \times 10^{-7} , \Omega \cdot m $.
(d) Com base na resistividade calculada, o material não corresponde exatamente aos listados na tabela de metais típicos; pode ser uma liga especial ou requer uma revisão dos cálculos.